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河北省邢台市威县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
3．下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．对“神舟二十号”飞船零部件的检查
B．对七年级入学新生进行传染病筛检
C．某地汛期来临前对河流大坝安全隐患进行排查
D．调查某品牌汽车的抗撞击能力
4．如图，在一次数学实践活动中，淇淇绘制了一个校园周边区域示意图．已知家的坐标为，体育馆的坐标为，则学校所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，c是有理数，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（ ）
A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3
10．已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．点到轴的距离是 .
14．在数学实践课上，老师拿出五个边长为1的小正方形摆在桌上，让同学们挑战如何将这些零散的正方形裁剪后重新拼接成一个大正方形．嘉嘉看着桌上的图形，反复比划裁剪的线条，终于成功将图形剪开并拼成了如图2所示的正方形，则拼成的正方形的边长为 ．
15．如图，这是一种骑椅的简化结构示意图，扶手与底座平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点，，的延长线与交于点．当前支架与后支架正好垂直，且时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为 ．
16．按如图所示的程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于9”为一次运算，且运算进行两次才停止，则可输入的整数的值是 ．
三、解答题
17．（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
18．已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数．
(1)分别求出，，的值．
(2)求的平方根．
19．如图，，，，求的度数．请完成填空．
解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴______（______）．
∵（已知），
∴______（等量代换），
∴______（______），
∴______（______）．
∵（已知），
∴______°．
20．为落实“每天锻炼一小时”的要求，学校组织1500名学生参与“跃动青春”跳绳比赛．赛后，李老师随机抽取了部分学生，并对其跳绳个数（单位：个，采用百分制换算成绩）进行整理、描述和分析，数据分为五组：A．，B．，C．，D．，E．．下面给出部分信息．
a．学生成绩的统计图如图所示．
b．D组的成绩：80，81，81，82，83，83，84，85，85，85，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题．
(1)本次调查采用的方式是______，样本容量是______．
(2)请补全频数分布直方图．
(3)若成绩不低于85分为优秀，请估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数．
21．平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时．
(1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由．
(2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：．
22．如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为．
(1)请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ．
(2)求出平移后三角形的面积．
(3)在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标．
23．问题情境：
数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏．已知长方形纸带的边，将一个含角的三角板按如图所示的方式放置（点始终在边上），将纸片沿折痕折叠，点在上，使点，，在同一条直线上，点，的对应点分别为，．
操作探究：
(1)如图1，的度数为______．
(2)如图2，将一个含角（）的三角板按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合），在三角板绕点旋转的过程中，当时，求的度数．
24．随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以DeepSeek为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面．某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表：
购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元）
第一次 5 3 90
第二次 3 8 116
已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题：
(1)甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？
(2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案．
(3)如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额．
参考答案
1．A
解：，
解得：．
故选：A．
2．A
解：，
9的算术平方根是3，
故选：A．
3．D
解：A．对“神舟二十号”飞船零部件的检查，需全面调查，不符合题意；
B．对七年级入学新生进行传染病筛检，适合全面调查，不符合题意；
C．某地汛期来临前对河流大坝安全隐患进行排查，需全面调查，不符合题意；
D．调查某品牌汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，符合题意；
故选：D．
4．A
解：如图所示：
由平面直角坐标系可知：学校所在位置为，
故选：A．
5．C
A、 当时，，不等式不成立，故A错误，不符合题意；
B、 由，两边乘以得，再两边加得，与选项B矛盾，故B错误，不符合题意；
C、 由，两边同时减去，不等式方向不变，即，故C正确，符合题意；
D. 当时，两边除以需改变不等号方向，此时，与选项D矛盾；若则无意义，故D错误，不符合题意；
故选：C．
6．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故选：C．
8．D
解：∵x、y是方程组和的公共解，
∴满足方程组
解这个方程组得
把代入 ，
解得
∴点在第四象限．
故选D．
9．A
解：∵，
∴，
故选：A．
10．C
解：原不等式组为：，
由可得，
∵不等式组的解集是，
∴．
故选：C
11．C
设安排个工人做螺杆，个工人做螺母，
由题意得：，即，
故选：C．
12．D
解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
即每个小长方形的面积为．
故选：D．
13．2
解：∵，
∴点到轴的距离是2
故答案为2．
14．
解：由题意得：图1的面积为，
∴图2中的正方形面积为，
∴拼成的正方形的边长为，
故答案为：．
15．/123度
解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
故答案为：．
16．4或5
解：根据题意得：第一次：，
第二次：，
根据题意得：，
解得：．
∴x的整数解是：4，5，
故答案为：4或5．
17．（1）；（2）无解．
解：，
，得：，
解得，
将代入②，得：，
解得，
则方程组的解为；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组无解．
18．(1)，，
(2)
（1）解：由题意得：，，
∵，，
∴，，
又∵且为整数，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴的平方根为．
19．；两直线平行，内错角相等；； ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；； ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
20．(1)抽样调查，50
(2)见解析
(3)估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数约有600名．
（1）解：通过题意可知，此次是抽样调查，
D组的人数为14人，
样本容量：，
故答案为：抽样调查，50；
（2）解：D组的人数为14人，
C组的人数有（名）．
补全频数分布直方图如下：
；
（3）解：．
答：估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数约有600名．
21．(1)，见解析
(2)见解析
（1）解：；理由如下：
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
∴．
22．(1)图见解析，，，
(2)6
(3)点的坐标为或．
（1）解：∵三角形中一点平移后的对应点的坐标为，
∴平移规律为：
向右平移个单位长度，向下平移：个单位长度，
∴三角形如图所示：

∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：；
（3）解：∵三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，
∴，
整理得，
解得：或
故点的坐标为或．
23．(1)
(2)的度数为或．
（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
故答案为：；
（2）解：当点在直线的上方时，
∵，，
∴，
∵，
∴；
当点在直线的下方时，记直线交于点，
同理，
∴，
综上，的度数为或．
24．(1)甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元；
(2)该公司有3种合理的采购方案：①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台，②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台，③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台；
(3)可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元．
（1）解：设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元；
（2）解：设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台，
由题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴或9或10，
∴有3种采购方案：
①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台；
②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台；
③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台；
答：该公司有3种合理的采购方案：①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台，②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台，③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台；
（3）解：设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台，
由题意得：，
∴，
∵a、b都为正整数，
∴或或，
当购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台时，
月收益为：（万元），
当购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台时，
月收益为：（万元），
当购买甲型号的服务器15台、乙型号的服务器4台时，
月收益为：（万元），
∵，
∴可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元．

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