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人教2019A版 必修 第二册
§8.6.2直线与平面垂直
不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。
——罗巴切夫斯基
Независимо от того, насколько абстрактна та или иная отрасль математики, она когда - нибудь будет применена в реальном мире.
谈及我国四大直辖市，它们无疑如同璀璨的明珠，闪耀着政治、经济、文化等多方面的光芒。而各市的地标不约而同的选择了拔地而起、高耸入云的大楼，当今祖国大地的繁华盛景，每一处都令人深感着迷。
探究发现
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象。
新知讲解
观察（1）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？
经观察我们知道AB与BC永远垂直，也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。
一般地，如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直，我们就说l垂直α，记作l⊥α。
B
C
图8.6-8
A
而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。
（2）随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直？
定义：
①文字叙述：如果直线L与平面α内的 直线都 ，就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 ．
②图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
③符号语言：任意a α，都有l⊥a .
所有
垂直
l⊥α
垂线
垂面
垂足
l⊥α
思考
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件．
探究线面垂直判定
准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
容易发现AD与桌面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。
A
B
D
C
A
B
C
D
m
假设书有无数页,竖立在桌面上,书脊所在直线与桌面给人以垂直的印象.
⑴书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系
⑵书脊所在直线与桌面中任意一条直线的位置关系
思考
如图，使书脊AB与桌面垂直，可否将若干书页取掉，但至少保留几页？
猜想：如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．　
定理探索
两条相交直线
l⊥a,l⊥b,且a∩b=P
判定定理：
①自然语言：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平
面垂直．
②图形语言：如图所示.
③符号语言： l⊥α.
答：两种说法均不对，第一种反例如图,而图中平面内有无数条直线与a平行，且这些直线均与l垂直，但l在平面α内，l不垂直于α。
思考：两条相交直线可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为无数条呢？
例1
求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
已知：如图，a//b，a⊥α，求证b⊥α
证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.
∵直线 a⊥α
∴a⊥m,a⊥n
∵b//a
∴b⊥m,b⊥n
又m,n均在平面α内且相交
∴b⊥α
a
b
n
m
线面夹角
如图，一条直线与一个平面α，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，
叫做这条直线和这个平面所成的角（0°≤θ≤90°）
A
P
l
O
斜线
斜足
垂线
射影
垂足
例2
已知l，m，n是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ）
A 若l⊥m，l⊥n，则m//n
B 若m在α内，n在β内，α//β，则m//n
C 若m在α内， n也在α内，m∩n=A，l⊥m,l⊥n,则l⊥α
D 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β
C
例3
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角
解：
A
B
C
D
A1
B1
D1
O
C1
01
02
03
如何定义直线与平面垂直,怎么判断直线与平面垂直？
什么是直线与平面的成角？
本节课对同学们有哪些关键能力要求和数学思想？
课堂小结
布置作业
①课本第152页 练习 第1,2,3题
②网上查找资料，尝试了解罗巴切夫斯基所说两条平行直线相交与一点的概念
感谢您的观看
厚积有恒、深思求异

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