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13.2.1 三角形的边
第十三章 三角形
1.掌握三角形三边的关系，能证明三角形任意两边之和大于第三边.
3.了解三角形的稳定性.
2.能够运用三角形三边关系解决问题；
在一个三角形小路上，在 A 点的小狗，为了吃到 B 点的骨头，它有几条路线可以选择？哪条路线最快呢？
①
②
②
① AB
② AC + CB
怎么比较两条路线的长短呢？
猜想：
AC + CB＞AB
证明：
方法二：几何推导
∵两点之间，线段最短.
∴ AC + CB＞AB.
同理： AC + AB＞BC,
AB + BC＞AC.
方法一：测量法
画不同类别的三角形，用直尺测量分别两条路线的长度.
结论1 三角形两边的和大于第三边.
三角形三边的关系
你还能得出其他三边之间的数量关系吗？
C
A
B
结论2 三角形两边的差小于第三边.
AC＞AB- CB
AC + AB＞BC
AB + BC＞AC
AC + CB＞AB
AB＞BC- AC
BC＞AC- BC
三角形三边的大小关系：
结论1 三角形两边的和_____第三边.
结论2 三角形两边的差_____第三边.
第三边取值范围：_________＜第三边＜__________
小于
两边之差
两边之和
大于
较大的边－较小的边
思考：前面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段，当他们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
（1）3 cm、8 cm、4 cm；
（2）5.5 cm、6.5 cm、12 cm；
（3）52 cm、62cm、102 cm.
?
不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm．
能，因为 52 cm + 62 cm > 102 cm．
?
总结：判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可.
不能，因为 5.5 cm + 6.5 cm = 12 cm．
例 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
解 ：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米，
由题意得：x+2x+2x=18
解得x=3.6 ，
所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.
解 ：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
(a) 如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7.
(b) 如果4厘米长为腰，设底边长为y厘米，则2×4+y=18， 解得y=10.
因为4+4＜10，出现两边和小于第三边的情况，
所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形.
由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.
?
总结：等腰三角形与三角形三边关系结合时，若腰和底不明确，需要分类讨论，再检验是否符合三边关系.
例 (2) 能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
思考：在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的道理是是什么呢？
三角形的稳定性
将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会
将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
会
在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会
这是为什么呢？
结论3 三角形具有稳定性.
要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形木架、六边形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢?
总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.
三角形三边关系
三角形的边
稳定性
三角形具有稳定性
两边的和大于第三边.
两边的差小于第三边.
2. 已知等腰三角形的两边长分别为 8 cm，3 cm，则这个三角形的周长为 _______.
19 cm
注：等腰三角形中常要用到分类讨论思想，在涉及周长问题时要检验三边关系.
1. 用木棒钉成一个三角架，两根小棒长分别是 7 cm 和 10 cm，第三根小棒长可取 ( )
A. 2 cm B. 3 cm C. 11 cm D. 20 cm
C
3. 如图，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ ）
A.两点确定一条直线
B.两点之间，线段最短
C.同角的余角相等
D.三角形具有稳定性
D
4. 若三角形的两边长分别是 3 和 8，第三边长为奇数，求第三边的长.
解：设第三边长为 x，根据三角形的三边关系，
可得8 - 3＜x＜8 + 3，即 5＜x＜11．
又因为 x 为奇数，所以 x = 7 或 9，
即第三边的长为 7 或 9.
5. 已知 a、b、c 为三角形的三边长，
化简：|b + c - a| +|b - c - a| - |c - a - b| - |a - b + c|.
∴ 原式 = |(b+c)-a| + |b-(c+a)| - |c-(a+b)| - |(a+c)-b|
= b + c - a + a + c - b - a - b + c + b - a - c
= 2c - 2a．
解：∵ a、b、c 为三角形三边的长，
∴ a + b＞c，a + c＞b，b + c＞a．
6. 已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长， a ＝5， b ＝8，设三角形的周长是 x .
(1)直接写出 c 及 x 的取值范围；
(2)若 x 是小于20的偶数，求 c 的值并判断△ ABC 的形状.
解：(1)3＜ c ＜13，16＜ x ＜26.
(2)∵三角形的周长 x 是小于20的偶数，且16＜ x ＜26，
∴ x ＝18.∴ c ＝18－5－8＝5.
∵ a ＝ c ＝5，
∴△ ABC 是等腰三角形.

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