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13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
第十三章 三角形
1.理解并掌握三角形的中线、角平分线、高的概念.
2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法.
3.通过画图观察，认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.
你还记得线段中点、角平分线、垂线的定义吗？
定义 图示
线段中点
角平分线
垂线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
【探究1】什么叫做三角形的中点
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点.
B
C
A
B
C
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线．如图AD是BC边上的中线
中点
D
【思考】一个三角形有几条中线，它们交于一点吗？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
A
C
B
D
E
F
D
E
F
角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
【探究2】什么叫做三角形的角平分线
角平分线
A
B
C
D
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图AD是BC边上的角平分线
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 用折纸的办法分别画出这些三角形的三条角平分线吗
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
【做一做】
三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
放、
靠、
过、
画.
【探究3】过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
0 1 2 3 4 5
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0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
A
B
C
D
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高，如图AD是BC边上的高
【探究3】过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？
注意标明垂直的记号和垂足的字母
【思考】分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
三条高所在直线的
交点的位置
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形的三条高的特性
【拓展】如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系.
A
B
C
D
所以△ABD与△ACD等底等高，
因为AD为△ABC的中线，所以 BD = DC
所以△ABD与△ACD的面积相等
总结：三角形的中线将这个三角形分为面积相等的两个三角形
例 如图，在ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=68°，
∴∠DAC=∠BAD=34°
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD=180°
∴∠ADB=180°－∠BBAD=180°－36°－34°=110°
三角形的 重要线段 概念 图形
三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线顶点和垂足之间的线段
三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段
三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
1．在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：
①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC. 其中正确的是( )
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
D
2.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（ ）
Ａ．2条 B.3条
C．4条 D.5条
3.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高（ ）
B
D
4.在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD
∴△DBC的周长=BC+BD+CD=25cm,
则BD+CD=25-BC
∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC
=25-BC+AC=25-(BC-AC)=25-5=20cm.
5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.，
解：∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°，∠ADC+∠C+∠DAC=180 °
∴∠DAC=180°-(∠ADC+∠C)=180°-90°-40°=50°
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°
∴∠CAE=41°
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°=9°

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