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第十三章 三角形
13.3.1 三角形的内角
课时1 三角形的内角和定理
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
三角形内角和定理
知识点
1
方法：度量、剪拼图、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
B
C
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个 平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
思考
追问1　在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
B
B
C
C
A
l
直线l 与边BC 平行．
追问2　在操作过程中，我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
B
B
C
C
A
l
通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论．
追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
证明：如图， 过点A作直线l，使l //BC. ∵ l//BC，
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ，∠4， ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
1.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
解：∠C＝180°×2－(40°＋40°＋150°)＝130°.
A
B
C
D
2.在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(　　)
A．40° B．60° C．80° D．90°
A
三角形内角和定理的“三个应用”:
1.已知两个角的度数求第三个角的度数.
2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.
3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.
三角形内角和的应用
知识点
2
例1 如图 ，在△ABC 中，∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD是△ ABC的角平分线.求 ∠ADB 的度数.
C
B
D
A
解：由∠BAC=40°，AD是△ ABC的角平分线，
得∠BAD= ∠BAC=20°. 在△ ABD中，
∠ADB =180°－∠B－∠BAD
= 180° － 75°－ 20°=85°.
图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角 ∠ ABC是多少度？从C岛 看A， B两岛的视角∠ ACB呢？
例2
北
北
C
A
B
D
E
分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠ CAB， ∠ ABC，就能求出∠ ACB.
解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°.
由AD//BE，得∠ BAD－∠ ABE=180°.
所以∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°，
∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠CAB=180°－60°－30°=90°.
答：从B岛看A， C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A， B两岛的视角∠ACB是90°.
方法一：
你还能想到其他解法吗？
B
D
C
E
北
A
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
解：过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °，
F
∵ CF∥AD， 又AD ∥BE，
∴ CF∥ BE，
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °
北
方法二：
1.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　)
A．45° B．54°
C．40° D．50°
C
2.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．
40°
通过本课时的学习，需要我们掌握：
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的内角和等于180 °
作平行线
转化思想
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠B的度数为(　　)
A．120° B．80°
C．60° D．40°
C
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D， ∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　)
A．70° B．80°
C．100° D．110°
B
3.如图，在△ABC中，已知∠B＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至D，使∠CAD＝∠D.求∠BAD的度数．
解：∵∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°.
又∵∠CAD＝∠D，∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°，
∴∠CAD＝∠D＝40°.
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠D＝180°－46°－40°＝94°.
4.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，所以∠ABD＝60°.
又因为∠DBE＝90°，所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.
因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，所以∠ACE＝90°－40°＝50°.所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.

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