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第十三章 三角形
13.3.1 三角形的内角
课时2 直角三角形的性质与判定
1.了解直角三角形两个锐角的关系.
2.掌握直角三角形的判定.
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
1.三角形的内角和是多少度?
180°
3.直角三角形中，有一个角一定是 °
90
2.按角的大小分类，三角形可以分为哪三类？
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
直角三角形的性质
知识点
1
问题1：如下图所示的是我们常用的一副三角板,你知道它们两
锐角的度数之和吗?通过量角器测量一下吧！
30°+60°=90°
45°+45°=90°
问题2：如图，在△ABC中， 已知∠C=90°，
（1）你能求出∠A ，∠B的度数吗？
能.
在△ABC中，因为 ∠C=90°，所以由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即∠A +∠B=90°.
不能.
（2）你能求出∠A +∠B的度数吗？你是怎么得到的？
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
几何语言：
在△ABC 中，∵∠C =90°，
∴∠A +∠B =90°．　
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．　　
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
直角三角形的表示：
注意：Rt△后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.
例1 如图， ∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.
∵ ∠AEC=∠BED，
∴ ∠CAE=∠DBE.
【变式】如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.
与例1有哪些共同点与不同点？
∠A=∠C
∠A=∠D
基本图形
两个直角三角形的一对锐角为对顶角，则另一对锐角相等.
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
2.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．30°或60°
A
3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1=32°，求∠D的度数．
解：∵∠BAC=90°，∠1=32°，
∴∠ABC=90°-32°=58°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=29°.
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABD=29°．
?
注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
直角三角形的判定
知识点
2
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如何验证？
如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，由三角形内角和可知
∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形．
由此，你可以得到直角三角形的判定方法吗？
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
三角形是直角三角形　
三角形的两个角互余　　
直角三角形的性质与判定之间的关系
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2=90° B．∠2=∠3
C．∠1=∠4 D．∠1=30°
D
【解析】∵∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°，故A选项正确；
∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，故B选项正确；∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠2+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠4，故C选项正确；
根据已知条件不能推出∠1=30°，故D选项符合题意；故选D．
∠1=∠2,∠C=90°，ED⊥AB
已知其中任意两条，即可求得第三条
∠1=∠2,∠3=∠4，∠ACB=90°，CD⊥AB
已知其中任意三条，即可求得第四条
基本图形
直角三角形的性质与判定
性质
判定
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且CD∥AB．∠B=60°，则∠1等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
A
2.在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为 ．
45°或30°
【解析】①当锐角α是直角的一半时，α=12×90°=45°；
②当锐角α是另一锐角的一半时，α=12(90°-α)，解得α=30°．
综上所述，锐角α的度数为45°或30°．
?
3.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
理由如下：
解：△ABD是直角三角形.
∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
4.如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为多少时，△AOP为直角三角形．
解：若△AOP为直角三角形，则
①∠A=90°时，△AOP为直角三角形；
②当∠APO=90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A=40°．
故∠A的度数为90°或40°时，△AOP为直角三角形．

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