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第十三章 三角形
13.3.2 三角形的外角
1.认识三角形的分类方法，并能通过分类进一步加强对三角形的认识；
2.理解并运用三角形的三边关系解决实际问题.
每天清晨，小明都到广场去跑步，广场是一个三角形形状的广场.小明每天沿着这个三角形广场周围的小路，按逆时针跑步.小明每从AC街转到AB街道时，身体转过的角度是多少？
1
A
B
C
40°
70°
像∠BAD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
由三角形内角和易得
∠BAC = 180°－∠ABC－∠ACB = 70°，
所以∠BAD = 180°－∠BAC= 110°.
D
思考
三角形外角的概念
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
① 角的顶点是三角形的顶点
② 角的一边是三角形的一边
③ 另一边是三角形中一边的延长线
三角形的外角应具备的条件
C
B
A
D
例1
F
A
B
C
D
E
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
每个顶点处有几个外角？它们有何关系？
如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等.
思考
思考
三角形共有几个外角？
A
B
C
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角.
思考
三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？
A
C
B
D
相邻的内角
∠BCD 与∠ACB 互补.
三角形的外角
三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？
A
C
B
D
相邻的内角
三角形的外角
不相邻的内角
∠BCD =∠A+∠B .
∠BCD =∠A+∠B .
由三角形的内角和可知∠A+∠B+∠ACB=180°
由邻补角的定义可知
∠BCD +∠ACB=180°
∴∠BCD =∠A+∠B .
证明方法一
A
C
B
D
相邻的内角
三角形的外角
不相邻的内角
证明方法二
∠ACD =∠A+∠B .
D
A
B
C
1
2
E
证明：过 C 作 CE∥AB，
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A +∠B.
三角形的一个外角和它不相邻的一个内角有何数量关系？
由推论可知∠BCD =∠A+∠B
因此∠BCD >∠A,
∠BCD >∠B .
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
思考
A
C
B
D
相邻的内角
三角形的外角
不相邻的内角
例2
已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°，20°，30°，求∠1的度数.
B
3
2
1
A
C
D
E
解：∵∠2 是△ACD 的一个外角，
∴∠2 =∠3+∠C=110°，
∵∠1 是△BDE 的一个外角，
∴∠1=∠B +∠2=130°.
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列.
解：∵∠2 是△ACD 的一个外角，
∴∠2 =∠3+∠C，即有∠2 >∠3，
∵∠1 是△BDE 的一个外角，
∴∠1=∠B +∠2，即有∠1 >∠2，
故∠1 >∠2>∠3.
B
3
2
1
A
C
D
E
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
思考
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
思考
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ，
∠CBF +∠2 = 180° ②，
∠ACD +∠3 = 180° ③，
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
① + ② + ③ 得
∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°.
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
思考
解法三：过 A 作 AM 平行于 BC，
则易得∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，
B
C
1
2
3
4
A
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3
＝ ∠1＋∠4＋∠BAM = 360°.
M
D
E
F
三角形每个顶点处分别有两个外角，如果每个处各取一个外角，那么这三个外角的和就叫做三角形的外角和.
结论：三角形的外角和等于 360°.
三角形的外角和
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = .
360°
解：∵∠1 是△ABN 的外角，
∴∠1 = ∠B + ∠A，
同理∠2 = ∠C+ ∠D,
∠3 = ∠E+ ∠F,
根据三角形的外角和为360°，
∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 360°.
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
1.判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角. （ ）
（2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
×
×
×
√
2.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C =∠F=90°，∠A =45°，∠D =30°，则∠α+∠β等于（ ）
A.180° B.210°
C.360° D.270°
B
E
B
C
A
F
D
α
β
1
2
3
4
3.如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 60°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°，
∴∠BFC = 88°.
F
A
C
D
E
B

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