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13.3.1 三角形的内角
第十三章 三角形
课时2 直角三角形的性质与判定
1.了解直角三角形两个锐角的关系.
2.掌握直角三角形的判定.
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
　在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C等于多少度？你用了什么知识解决的？
A
B
C
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？
那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
知识点1：直角三角形两锐角的关系
如图， 在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°，
即∠ A+ ∠ B+90°=180°，
所以∠ A + ∠ B = 90°
C
A
B
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角 三角形ABC可以写成Rt △ ABC.
如图， ∠ C= ∠ D = 90°，AD，BC 相交于点E.
∠ CAE与∠DBE有什么关系？ 为什么？
在Rt △ ACE中， ∠ CAE=90°－∠ AEC，
在 Rt △ BDE 中，
∠ DBE =90° －∠ BED.
∵ ∠ AEC = ∠ BED ，
∴ ∠ CAE= ∠ DBE.
例1
解：
C
D
E
A
B
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角．
1.如图，∠ACB=90°， CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：
∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
因为CD⊥AB，
所以∠BCD＋∠B＝90°.
所以∠ACD＝∠B.
A
B
C
D
2.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是
AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交
点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
解：
∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.
知识点2：直角三角形的判定
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
假设在△ABC中，∠A＋∠B=90°，由三角形内角和定理，我们可以得到∠C=180 ° －（ ∠A＋∠B）=90°，即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形.
由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°.
如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，
∠BEF的平分线与∠DFE的平分
线相交于点P.试说明△EFP为
直角三角形．
例2
导引：
解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)
×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．
1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
C
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝ ∠B＝ ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
D
3.如图， ∠C=90 °， ∠1= ∠2， △ ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形．理由如下：
因为∠C＝90°，
所以∠A＋∠2＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠A＋∠1＝90°.
所以∠ADE＝180°－(∠A＋∠1)＝90°.
所以△ADE是直角三角形。
C
A
B
E
D
2
1
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
2.含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1＝(　　)
A．70° B．60°
C．40° D．30°
B
1.如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(　　)
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
3.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC ＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
解：在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C
＝180°－80°－70°＝30°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.
在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，
∴△ABD是直角三角形．

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