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13.3.2 三角形的外角
第十三章 三角形
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.
3.掌握三角形的外角的性质．
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48 °
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
三角形的外角的概念
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
思考2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
思考1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
A
B
C
思考3 画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
F
A
B
C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
三角形的外角的性质
　　在△ABC 中,∠A =70°，∠B =60°，∠ACD是 △ABC的一个外角，你能求出∠ACD的度数吗？
70°
60°
50°
130°
∠ACD 与∠A,∠B 的大小有什么关系
∠ACD =∠A +∠B
那么对于任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都具有这种关系呢？
如图，任意一个△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
总结：三角形的外角和等于360°
你还有其他
解法吗？
解：∵∠BAE =∠2 +∠3，
∠CBF =∠1 +∠3，
∠ACD =∠1 +∠2，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD
= 2(∠1 +∠2 +∠3)
= 2×180°=360°.
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+②+③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4，
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
D
E
F
2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝50°，则∠3的度数为_______．
30°
1.如图，△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )
A．110° B．80°
C．70° D．60°
D
性质
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它_______的两个内角的和
定义
三角形的一边与另外一边的________所组成的角
延长线
三角形外角和
三角形的外角和等于_____
360°
不相邻
1．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
2．如图，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为______度．
F
B
12
3.如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
解：∵∠A＝180°－∠B－∠ACB
＝180°－67°－74°＝39°，
∴∠BDF＝∠A＋∠AED
＝39°＋48°＝87°

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