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第一章 勾股定理
1.1 课时1 认识勾股定理
1.通过数格子的方法探索勾股定理，理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系；
2.能够运用勾股定理进行计算.
三角形
定义
角
边
直角
三角形
定义
角
边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。
三角形的内角和是 180°。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
有一个角是 90°的三角形是直角三角形。
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。
？
由于安全问题，工人小高打算加一条
钢索用来稳固电线杆.从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底6m，
那么工人小高应准备多长的钢索？
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？
两直角边的平方和等于斜边的平方.
三边长的平方之间的关系：
测量法
思考·交流
（2）如图，直角三角形三边长的平方分别是多少？
A
C
B
D
F
E
图①
图②
三边长的平方分别是各正方形的面积.
SA
SB
SC
SF
SD
SE
（3）它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？
A
C
B
D
F
E
图①
图②
数格子法
A
C
B
图①
正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____.
正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____.
正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____.
9
9
9
9
18
18
9+9=18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方.
D
F
E
图②
正方形D中含有____个小正方形，即D的面积是_____.
正方形E中含有____个小正方形，即E的面积是_____.
正方形F中含有____个小正方形，即F的面积是_____.
4
4
4
4
8
8
4+4=8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方.
（4）对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？
A
C
B
D
F
E
图①
图②
A
C
B
图①
正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____.
正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____.
正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____.
16
16
9
9
正方形C的面积可以怎么计算呢？
A
C
B
图①
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
SC=×4×3×4+1×1=25
把C“补” 成边长为7的正方形
SC=7×7-×4×3×4=25
正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____.
正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____.
正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____.
16
16
9
9
25
25
16+9=25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方.
A
C
B
图①
D
F
E
图②
正方形D中含有____个小正方形，即D的面积是_____.
正方形E中含有____个小正方形，即E的面积是_____.
正方形F中含有____个小正方形，即F的面积是_____.
1
1
9
9
10
10
1+9=10，满足两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
（1）文字语言：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）符号语言：
如果用a，b和c分别表示直角三角形
的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
A
B
C
a
b
c
我国古代把直角三角形中
较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.
（在很多国家文献中称为毕达哥拉斯定理）
勾
股
弦
从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么工人小高应准备多长的钢索？
8m
6m
所以斜边=10m.
即需要10m长的钢索.
因为 82+62=斜边2，
在直角三角形中：
1.求下图中字母所代表的正方形的面积.
SA=225+400=625
225
400
A
81
225
B
SB=225-81=144
2.求下列直角三角形中未知边的长。
5
12
x
25
15
y
解：由勾股定理得：122+52=x2
所以 x2=169，且x>0
所以 x=13
解：由勾股定理得：152+y2=252
所以 y2=400，且y>0
所以 y=20
3.求斜边长17厘米,一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.
15
17
A
C
B
解：因为三角形是直角三角形，
所以BC2=AB2-AC2
=172-152，
=64，
所以BC=8.
则S△ABC=×AC×BC=×15×8=60，
即直角三角形的面积为60平方厘米.
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使它们的面积之和恰好等于最大的正方形①的面积，尝试给出两种方案.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
解：S③+S④=S①；
S⑦+S⑨+S⑩+S⑧ =S①.
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a，b和c分别表示直角三角形
的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
A
B
C
a
b
c
文字语言
符号语言

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