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第一章 勾股定理
1.1 课时2 勾股定理的验证和简单应用
1．能用拼图的方法、面积法验证勾股定理，体会数形结合的思想．
2．能熟练地运用勾股定理解决实际问题.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
1. 勾股定理的内容是什么？
符号语言：
如果用a，b和c分别表示直角三角形
的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
A
B
C
a
b
c
2.我们是如何发现“勾股定理”的
特殊
3. 如何验证勾股定理呢 ？
a
b
c
分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能够利用这个图验证勾股定理的正确性吗？
用“外镶法”拼图
a
b
c
a
b
S大正方形=（a+b）2
S大正方形=c2+ab×4=c2+2ab
所以（a+b）2=c2+2ab，
即a2+2ab+b2=c2+2ab，
所以a2+b2=c2.
等积法
用“内嵌法”拼图
a
b
c
a
b
b-a
S大正方形=c2
S大正方形=ab×4+（b-a）2=a2+b2
所以c2=a2+b2.
等积法
拼一拼：用四个全等的边长为a、b、c的直角三角形进行拼图，要求所拼图形能够用等积法验证勾股定理.
举例：
a
b
c
B
A
C
D
E
F
G
解：连接EC，
S梯形BCEF=S△AEF+S△ABC+S△ACE
（a+b）2=ab+ab+c2
所以a2+b2=c2.
（提示：△AEC是等腰直角三角形. ）
（2）拼梯形图：
运用梯形面积表达式进行证明.
“勾股定理”的验证方法
（1）拼正方形图：
运用正方形面积表达式进行证明；
数形结合法：
勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把左图称为
“赵爽弦图”.
2002年国际数学家大会会标的主要图案(如右图)就取材于此图.
例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的
平均速度吗
公路
B
C
A
400m
500m
解：根据题意画图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置.
由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角.
由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以BC=300.
蓝方汽车10 s行驶了300 m，
那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)，
即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s.
公路
B
C
A
400m
500m
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗
a2+b2a2+b2>c2
通过数格子发现不满足.
8
9
29
5
8
9
思考·交流
1.如图是某沿江地区交通图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/km，该沿江高速的造价预计是多少？
解：在Rt△MNO中，
MO2=MN2+NO2，
即MO2=302+402，
所以MO=50km.
在Rt△OPQ中，
OQ2=OP2+PQ2，
即OQ2=502+1202，
所以OQ=130km.
所以高速公路总长：50+130=180（km），
造价为：180×5000=900000（万元）.
答：该沿江高速的造价预计是900000万元.
2.如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？
解：设这棵树折断后为xm，则斜边为（18-x）m，
由勾股定理，得x2+62=（18-x）2，
所以x=8.
答：这棵树折断后有8m高.
x
18-x
6m
3.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
D
A
B
C
E
F
解：由题意，得DC=AB=8cm，AF=AD=BC=10cm， ∠B=∠C=90°，
设EF=DE=xcm，则EC=（8-x）cm，
由勾股定理，得BF2=102-82，
所以BF=6，
所以CF=10-6=4（cm）.
在△EFC中，由勾股定理，得x2=42+（8-x）2，
解得x=5，
所以EC=8-5=3（cm）．
D
A
B
C
E
F
（2）拼梯形图：
勾股定理的验证方法（数形结合法）
（1）拼正方形图：
勾股定理的应用
运用梯形面积公式进行证明.
运用正方形面积公式进行证明；

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