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第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
1.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．
2.利用勾股定理的逆定理解决实际问题．
1.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题1： 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
a2+b2=c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题2：据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且 .
b
c
证明：作?A1B1C1

在△ABC和△A1B1C 1中，
C
a
求证：∠C=90°.
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
所以∠C=∠C1
=90°.
B
A
B1C1=a，C1A1=b,
A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2
因为a2+b2=c2
所以A1B1 =c，
所以AB=A1B1
≌
所以?ABC
?A1B1C1，
a
b
C1
A1
B1
总结归纳
几何语言：
∵在△ABC中，a2 + b2 = c2
∴则△ABC是直角三角形.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
b
c
C
a
B
A
勾股数：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
利用边的关系判定直角三角形的步骤
1.找：找出三角形三边中的最长边；
2.算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
3.判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
注意：
（1）????2+????2=????2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边.
?
（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
勾股定理
勾股定理的逆定理
条件
结果
区别
联系
????2+????2=????2
?
勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“????2+????2=????2”，即由“形”到“数”.
?
∠????=90?
?
勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足????2+????2=????2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形” ，即由“数”到“形”.
?
两者都与三角形的三边有关系
?
在Rt△????????????中，∠C=90?.
?
在△????????????中，????2+????2=????2.
?
2倍
3倍
4倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
7,24,25
议一议：（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。
（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。
还是勾股数
还是直角三角形
1.常见的勾股数有：
2.将一组勾股数扩大相同的正整数倍，得到的还是勾股数;
3.如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的
倍数，那么这个三角形还是直角三角形。
3,4,5； 6,8,10；5,12,13； 7,24,25；8,15,17；
总结归纳
例： 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为
直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示, 这个零件符号要求吗?
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
13
解：符合要求，
因为 在△ABD中，AB2+AD2=32+42=52=BD2
所以∠A=90°,
又因为在△BCD中, BD2+BC2=52+122=132=CD2
所以 ∠DBC=90°
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
13
1. 下列各组数是勾股数的是（　　）
A. 3，4，5
B. 1. 5，2，2. 5
C. 32，42，52
D.
A
2. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 　.
15
3. 已知?ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角。
4. 以?ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形。
直角
直角
∠A
勾股定理的逆定理
逆定理
如何判断
直角三角形
如果三角形的三边长a、 b 、 c 满足????2+????2=????2，那么这个三角形是直角三角形.
?
①找最长边
②算两短边的平方和与长边的平方
③判断等量关系

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