资源简介

(共33张PPT)
2.7.1抛物线的标准方程
第二章 平面解析几何
人教B版（2019）
素养目标
1.掌握抛物线的定义，理解焦点、准线的几何意义；
2.掌握抛物线的标准方程及其推导，能根据条件求标准方程；
3.能应用抛物线的方程解决一些相关问题.
新知导入
抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图象是一条抛物线；等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
探究新知
一般地，设F是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.
定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线.
抛物线的定义
l
F
焦点
准线
探究新知
思考：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗？
不一定.
当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线；
l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线.
l
F
探究新知
你能利用日常生活中的物品作出抛物线吗？
如图，在画板上画一条直线，使l与画板左侧的边线平行；再在直线外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺笔尖作出的曲线是抛物线的一部分.
探究新知
这种作抛物线的方法实际上验证了抛物线定义中的P点一定存在而且有无数多个：那么，从数学上能不能证明这一点呢？
【思考】怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
探究新知
用坐标法来探讨问题，并求出抛物线的标准方程.
过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，
如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.
设 |KF|=p(p>0)，
则抛物线的焦点为 ，准线为
探究新知
设点M (x，y)是抛物线上一点，则M到F的距离为
M到直线l的距离为
所以
将上式两边平方并化简，得
探究新知
方程 就是抛物线的方程，通常称为焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程.
显然，满足方程 的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图所示.
探究新知
【尝试与发现】
如果建立的平面直角坐标系分别如图(1)(2)(3)所示，其他条件不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能否通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？
探究新知
抛物线的焦点为F ，准线为 ，只要将①中的x变为-x，即可得到抛物线(1)的方程为 .
通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 .
探究新知
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程.
抛物线的焦点为 F ，准线为 ，将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线(2)的方程为 .
探究新知
通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程 .
抛物线的焦点为 F ，准线为 ，将①中的 x 变为 - y 且 y 变为 -x 即可得到抛物线(3)的方程为 .
探究新知
由上可以看出，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的.
如不特别声明，以后总认为抛物线有相应的p(p>0)值，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一.
归纳总结
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
开口方向
l
O
F
P
y
x
l
F
P
O
y
x
l
O
F
P
y
x
l
F
P
O
y
x
向右
向左
向上
向下
探究新知
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
(1)抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正半轴上；
解： (1)根据题意可知，抛物线的标准方程具有 的形式，
且 p = 3 ，
准线方程为
y2 = 6x.
因此所求标准方程为
∵ ，∴ p = 6
探究新知
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
(2)抛物线的焦点是 F( 3，0).
解：(2)∵抛物线的焦点是 F( 3，0)，
∴设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，
∴所求抛物线的标准方程是 y2 = -12x .
准线方程为 x = 3.
探究新知
探究新知
探究新知
例3 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 F(0， 2) 的距离比 M 到 x 轴的距离大2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线.
解：设 M 坐标是(x，y)，则根据题意可知
当 y > 0 时，方程可变为 x = 0，这表示的是端点在原点、方向为y轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示；
化简得 x2 = 4(|y|-y) .
当 y ≤ 0 时，方程可变为 x2 = -8y，这表示的是焦点为F(0，-2)的抛物线，如图所示.
D
C
A
D
B
B
B
A
小结
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
开口方向
l
O
F
P
y
x
l
F
P
O
y
x
l
O
F
P
y
x
l
F
P
O
y
x
向右
向左
向上
向下
谢谢同学们的聆听

展开更多......

收起↑