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(共33张PPT)
7.1.2 一元线性回归方程
学习目标
1.了解线性回归的基本思想，会求一元线性回归方程并能根据线性回归方程进行预测，体现逻辑推理能力（重点）
2.体会用向量解决数学问题的作用，体现逻辑推理能力（难点）
新课导入
前面讨论了直线拟合的一些做法, 这一节我们将介绍数学中常用的拟合方法——最小二乘法.
下面我们来介绍一下最小二乘法的思想：
对于给定的两个变量X和Y（如身高和体重），可以把成对的观测值(x1,y1),
(x2,y2),(x3,y3),...,(xn,yn)表示为平面直角坐标系中的n个点.
现在希望找到一条直线Y=a+bX，使得对每一个xi(i=1,2,...,n)，由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.
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下面我们来介绍一下最小二乘法的思想：
为此，希望
[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2
达到最小.
希望a，b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.
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最小二乘法的概念
希望a，b的取值能使下式达到最小
[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2
这个方法称为最小二乘法.
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先研究简单的情形，考虑3对数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，
即：求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1,2,3)的平方和最小,即[y1-(a+bx1)]2
+[y2-(a+bx2)]2+[y3-(a+bx3)]2达到最小.下面用向量的方法解决这个问题.
首先，用向量的语言描述问题.
要用向量的语言描述yi-(a+bxi)(i=1,2,3)，容易想要将偏差作为向量的分量，即(y1-(a+bx1),y2-(a+bx2),y3-(a+bx3)).
“求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1,2,3)的平方和最小”的问题就等价于：“求a，b的值，使得向量
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(y1-(a+bx1),y2-(a+bx2),y3-(a+bx3))
的长度最小，下面我们分析这个向量：
(y1-(a+bx1) , y2-(a+bx2) , y3-(a+bx3))
=(y1 , y2 , y3)-(a+bx1 , a+bx2 , a+bx3)
=(y1 , y2 , y3)-[(a , a , a)+(bx1 , bx2 , bx3)]
=(y1 , y2 , y3)-[a(1 , 1 , 1)+b(x1 , x2 , x3)]
其中， 均为已知向量.
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至此，“求a,b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1,2,3)的平方和最小”的问题就转化为: 求a,b的值，使 的长度最小.
其次，用向量的方法思考问题.
如图， 和 成确定一个平面，记作α.
由平面向量基本定理可知，对任意的a,b, 都在平面α内；反之，平面α内的任意向量都可以用 来表示.
当a,b变化时， 的端点M是平面α内的一个动点.
如图， ，其中，点Y是平面α外的一个定点，点M是平面α内的一个定点.
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要使 最小，即 最小，由点到平面距离的定义，当 ⊥α时，线段MY的长度最短，即 与平面α垂直时， 的长度最小.
根据线面垂直的判定定理，要使 与平面α垂直，只需其与平面α内的两个不共线的向量 和 均垂直.
最后，用向量的方法解决问题.
求 最小时的a,b的值，就是求 与 和 的数量积分别为0时的a,b的值，即
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用向量的坐标表示，即
化简，得
记
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则
如果把它的解记作 得到：
①
②
①，②两式推广到n对数据(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)仍然成立，即：使[y1-(a+
bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2达到最小的a，b取值为
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其中，
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线性回归方程的概念
直线方程 称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)， 是这个线性回归方程的系数.
O
x
y


(xi,yi)
(xi, )
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思考一下：根据下表和上面的方法，计算回归方程？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
根据表中身高、体重的数据，利用上述方法得到身高和体重满足的线性回归方程为
Y=0.648X-55.139.
由此可知，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52.429kg.
同理，一个身高175cm的15岁男生，他的体重大致为58.261kg.
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思考一下：根据下表和上面的方法，计算回归方程？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
注意：身高和体重之间并没有函数关系，得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述.对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的体重.
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例1：在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数Y(单位：杯)与当天气温X(单位：℃)之间存在近似的线性关系.数据如表.
气温/℃ 26 18 13 10 4 -1
杯数/杯 20 24 34 38 50 64
(1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程；
从散点图中可以看出，表中的两个变量有近似的线性关系.
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先列表，并求得
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i xi yi xi2 xiyi
1 26 20 676 520
2 18 24 324 432
3 13 34 169 442
4 10 38 100 380
5 4 50 16 200
6 -1 64 1 -64
合计 70 230 1286 1910
进而，由 的表达式可得
于是，Y对X的线性回归方程为Y=57.557-1.648X.
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(2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯？
由最小二乘法得出的线性回归方程可知，当某天的气温是-3℃时，卖出热茶的杯数估计为
57.557-1.648×(-3)=62.501≈63.
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B
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D
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A
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A
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A
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7.7
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课堂总结
1.最小二乘法的概念
2.线性回归方程的概念
THANK YOU

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