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2024-2025学年甘肃省张掖二中高一（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 1 2 = + ( 为虚数单位)，其 ， 为实数，则 + 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2.向量( ) + ，化简后等于( )
A. B. 0 C. 0 D.
3.已知 + 3 = 23，则 cos(

3 2 ) =( )
A. 1625 B.
7
9 C.
49
81 D.
4
5
4 6.在△ 中， = 2， = 3， = 3 ，则△ 的面积为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
5 .已知函数 ( ) = + 的图象关于点( 6 , 0)对称，则 ( )的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 33 D.
2 3
3
6.已知向量 、 满足| | = 1, | | = 3，且 与 1夹角的余弦值为3，则( + 2
) (2 ) =( )
A. 13 B. 28 C. 23 D. 13
7.设 ∈ (0, 2 ), ∈ (0,

2 )，且 =
1
7 , =
1
10，则 + 2 =( )
A. 5 3 4 B. 4 C. 3 D. 4
8.设 = 2 42° 42° = 2 32°， 1 tan232 ， =
1+ 168°
2 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. 15° 75° = 1 3 15°2 B. 1+ 3 15 = 1
C. sin210° cos210° = 20° D. 1 3 10 10° = 4
10.下面四个命题中正确的是( )

A.若复数 1， 2满足 1 2 ∈ ，则 1 = 2
B.若 21 < 0，则 1是纯虚数
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C.若复数 ， 3 31 2满足 1 = 2，则 1 = 2
D.已知复数 满足| |2 | | 6 = 0，则复数 在复平面内对应点的轨迹是圆
| || | , ∈ (0, )11.定义一种向量运算“ ”： = ，其中 ,
是任意的两个非零向量， 是 与
| |, (0, )
的夹角.对于同一平面内的非零向量 ，给出下列结论，其中不正确的是( )
A.若 = 0，则| | = | |
B.若 ∈ ， ≠ 0，则 ( ) = ( )
C. ( + ) = +
D.若| | = 2，则 ≤ | | + 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2, = 2 3, = 60°，则 = ______．
13 ( ) = sin( + .已知函数 3 ) + ( > 0)在[0, ]
3
上的值域为[ 2 , 3]，则实数 的取值范围是
______．
14.已知 = 2cos(2 + ) ，且 + ≠ 2 + ( ∈ )，则 tan( + ) = ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
当实数 取什么值时，复数 = ( 2 3 3 + 6) + ( 2 3 ) 分别满足下列条件？
(1) 为实数；
(2) 为纯虚数；
(3) 在复平面内对应的点位于第四象限．
16.(本小题 15 分)
锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 3且 2 = 2 + ．
(1)求 ；
(2)求三角形 周长的取值范围；
(3)求三角形 面积的最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，在梯形 中，已知 = 2 ， = = 1，∠ = 60°，点 、 分别在直线 和 上，且 =
2 ， 3 = ，连接 交 于点 ．
(1)设 = ，用 和 表示 ，并求实数 的值；
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(2)若 ⊥ ，求实数 的值；
(3) 1求| + 2 |的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = cos( 2 ) 2 3cos22 + 3．
(1)求函数 ( )在[0, ]上的单调递增区间；
(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ( 2 ) = 3， = 3， = 1，求 的值．
19.(本小题 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使
其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ 的三个内角均小于
120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点；当△ 有一个内角大于或等于 120°时，
最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
(1)若△ 是边长为 12 的等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离之和；
(2) △ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = ，点 为△ 的费马点．
( )若 = 4 3，求 + + 的值；
( ) | |+| |求 | | 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.30°
13.[ 1 23 , 3 ]
14.3 2 2
15.解：(1)由题意， 2 3 = 0，解得 = 0 或 = 3；
2
(2) 3 3 + 6 = 0由题意， 2 ，解得 = 2 3； 3 ≠ 0
(3)复数 = ( 2 3 3 + 6) + ( 2 3 ) 在复平面内对应的点为 ( 2 3 3 + 6, 2 3 )，
2 3 3 + 6 > 0
所以 2 ，解得 0 < < 3， 3 < 0
所以 的取值范围是(0, 3).
16.(1)由正弦定理：2 ( + ) = 2 = 2 + ，
则 2 + 2 = 2 + ，
所以 = 1 2，根据 0 < < 2得： = 3；
(2) 由正弦定理： = = = 2，所以 = 2 ， = 2 ，
+ = 2 + 2 = 2 + 2 ( 2 ) = 3 + 3 = 2 3sin( + 3 6 )，
注意到 0 < < 2 2 , 0 < 3 < 2，所以6 < <

2，
+ ∈ ( , 2 所以 6 3 3 ), sin( +

6 ) ∈ (
3
2 , 1],
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所以 + ∈ (3,2 3],
所以周长的取值范围是(3 + 3, 3 3]；
(3)由余弦定理可得：3 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
1
所以三角形 面积为2
≤ 3 33 4 ，
当且仅当 = = 3 3 3时，即 为等边三角形时，三角形 面积取最大值 4 ．
17.解：(1)在梯形 中，已知 = 2 ， = = 1，∠ = 60°，
点 2、 分别在直线 和 上，且 = ， = 3 ，连接 交 于点 ，
如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，建立如图平面直角坐标系，
则 (0,0), (2,0), ( 3 , 3 ), ( 1 3 ，2 2 2 , 2 )
根据平面向量的坐标运算可得 = (2,0), = ( 1 , 3 ), = ( 1 3 ，2 2 2 , 2 )
则 = 2 = ( 1 , 3 )，根据平面向量的加法法则可得 = 3 3 3 +
= ( 5 , 3 )，3 3
设 = + = (2 + 1 3 ，2 , 2 )
2 + 12 =
5 2
3 =
可得 3 3 ，解得
3
= 2
，
2 = 3 3
所以 = 2 + 2 3 3 ；
若 = = ( 53 ,
3
3 )，
由图象可知 ， ， 三点共线，根据三点共线法则可得 = + (1 ) = ( 3 +12 ,
3
2 (1 ))，
3 +1 5
2 = 3 3
可得 3 ，解得 = ；
2 (1 ) =
3 43
(2)因为 = ，设 ( 12 + ,
3 ，
2 )
则 = ( 53 ,
3
3 ),
= ( 1 3 ，2 + , 2 )
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若 ⊥ ，根据平面向量数量积的坐标公式可得
4
= 5 1 3 3 ，解得 = ；3 ( 2 + ) + 3 × 2 = 0 5
(3)因为 = ( 5 33 , 3 ),
= ( 12 + ,
3
2 )，
根据平面向量加法运算法则可得 + 1 4 2 3 ，2 = ( 3 + , 3 )
根据平面向量的模长公式可得| + 1 2 | = (
4
3 + )
2 + ( 2 3 )2 = ( 43 3 + )
2 + 43 ≥
2 3，
3
当且仅当 = 43时，等号成立，
1
所以| + 2 |的取值范围为[
2 3 ．
3 , + ∞)
18.解：(1)已知函数 ( ) = cos( 2 2 ) 2 3cos
2 + 3，
( ) = 2 2 3 × 1+ 2 则 2 + 3 = 2 3 2 = 2 (2

3 )，
令 2 2 ≤ 2
5
3 ≤ 2 + 2， ∈ ，则 12 ≤ ≤ + 12， ∈ ，
因为 ∈ [0, ] 5 11 ，所以函数 ( )的单调递增区间为[0, 12 ]和[ 12 , ]；
(2)已知 ( 32 ) = 3，即 2 ( 3 ) = 3，即 sin( 3 ) = 2 ，
2
因为 3 < 3 < 3，所以 =
2
3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 可得 2 + 2 = 0，又 > 0，则 = 1，
1
则 = 6，所以 = 2．
19.解：(1)由△ 为等边三角形，三个内角均小于 120°，得费马点 在三角形内，
满足∠ = ∠ = ∠ = 120°，且 = = ，如图，
过 作 ⊥ 于 ，则 = 6，∠ = 30° = ， 30 = 4 3，
所以该三角形的费马点 到各顶点的距离之和为 + + = 12 3；
(2)( ) 由正弦定理得 = ，而 = ， ≠ 0，
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= = 1 = 则 ，即 ，得 2，则△ 的三个角都小于 120°，
由费马点定义知，∠ = ∠ = ∠ = 120°，
设| | = ，| | = ，| | = ， > 0， > 0， > 0，
1 3
由 △ + △ + △ = △ 得：2 2 +
1 3 1 3 12 2 + 2 2 = 2 × 4 3，
化简得 + + = 8，
则 + + = ( 12 ) + (
1
2 ) + (
1
2 ) =
1
2 × 8 = 4；
( ) 由( )知 = 2，点 在△ 内部，且∠ = ∠ = ∠ = 120°，
设| | = ，| | = | | = ，| | = | | = ， > 0， > 0， > 0，
| |+| | +
则 | | = = + ，
由余弦定理得，| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 2 23 = ( + + 1) ，
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 2 23 = ( + + 1) ，
| |2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 2 = ( 23 +
2 + ) 2，
而| |2 + | |2 = | |2，即( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
整理得 + + 2 = ≤ ( + )22 ，
即( + )2 4( + ) 8 ≥ 0，则 + ≥ 2 + 2 3，
当且仅当 = ，即 = = 1 + 3时取等号，
| |+| |
所以 | | 的最小值为 2 + 2 3．
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