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吉林省第二实验高新学校九年级数学学科
预计完成时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A. + B. - C. × D. ÷
2. 如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为（ ） ．
A. B. C. 4 D. 8
3. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（　　）
A. B.
C. D.
4. 静止在斜面上的立方体受到的重力和摩擦力如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则重力与摩擦力的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是梯子两梯腿张开示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水深度（）与注水时间（）关系的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 观察下列作图痕迹，所作线段为的中线的是（ ）
A B.
C. D.
8. 已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定的正负
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 因式分解：__________．
10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为__________．
11. 已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是__________．
12. 请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是______．（写出一个值即可）
13. 如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看做是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为______
14. 如图，在中，是直径，是弦．D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F．下列结论一定正确的是__________．
①．②．③．④若，则．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．
现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
17. 某商场在节日期间将单价200元的某商品经过连续两次降价后，现在的价格为128元．求平均每次降价的百分率．
18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．
（1）在图①中画边上的高线．
（2）在图②中的线段上画出点，使得．
（3）在图③中，画出，使得，且E、A、B三点不共线．
19. 某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________；
（2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式；
（3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时．
20. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．
【问题解决】：
（1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ；
（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形形状，并说明理由；
②连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
21. 已知正方形的边长为4，点P是线段上一点，取中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连结．
（1）当点P不与点B重合时，求证：≌．
（2）连结，当是直角三角形时，求的长．
（3）线段的最小值为__________．
（4）四边形的最大面积为__________，此时线段的长度为__________．
22. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b、c是常数）的顶点为，且经过点，点M是抛物线上一点，其横坐标为m，当点M的纵坐标不为时，作点M关于点和的对称点分别为A、B、连结．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试说明线段；
（3）当直线与抛物线有两个公共点时，设这两个公共点为P、Q（点P在点Q左侧）
①当时，求m的值．
②当点、在线段上时，过点P作平行，过点Q作平行，两条直线交于点N，连结、，当面积小于面积的16分之1时，直接写出m的范围．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. A.
2. A．
3. C．
4. B．
5. A．
6.D．
7. ．
8. A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9.
10. 2031．
11. 5．
12.0（答案不唯一）．
13. ．
14. ②③④．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 解：
，
当时，原式．
16. （1）解：共有张卡片，
第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为
故答案为：．
（2）树状图如图所示：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．
17. 解：设平均每次降价百分率为x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
18. （1）解：如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为，
，，，
，
，
，
，
，
即是边上的高线；
（2）解：如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形，
，即点是中点，
取格点、、，连接、、、、，
，，，
，
，
点在的垂直平分线上，
连接并延长，交于点，则垂直平分，
，
，
即点为所求作；
（3）解：如图③，取格点、、，连接、、、、、，
，，，
，
，，
，
，
，即、、三点共线，
，
，
将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段，
则，
，
．
19. （1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时）
甲车的速度为：（千米／小时），
则，
解得：，
经检验， 是原分式方程的解，
故．
故答案为：80；5.5
（2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，
把点代入，得：
，
解得：，
则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为．
（3）解：，
解得，
根据图像可知两车第一次相遇的时间为2.5，
∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置，
且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时，
则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，
乙车到达目的地的时间为：，
故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时）
20.（1）解：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）解：①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
②过点作于点，如图所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
，
（3）解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，
的最小值为，
当落在的延长线上时，，
最长，
线段长度的取值范围是
21.（1）证明：∵O为的中点，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：当Q与点A重合时，，如图所示：
此时；
当O、R、D共线时，如图所示：
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上分析可知：的长为4或3；
（3）解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示：
则，，，
∵正方形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最小，且最小值为，
即的最小值为2；
（4）解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示：
根据解析（3）设，则点R的坐标为，
，
，
，
，
∵，
∴当时，最大，且最大值为，此时．
22. （1）解：由题意得：
，
解得：，
；
（2）解：如图，
由题意得，，
，
由对称得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：①如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
轴，
轴，
直线为，
，
整理得：，
直线与抛物线有两个公共点为P、Q，
，
，且点P在点Q左侧，
，
，
，
解得：，，
m的值为或；
②由①得，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
(ⅰ) 当在的下方时，如图，
设边上的高为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的面积小于面积的16分之1，
，
整理得：，
解得：或，
或；
(ⅱ) 当在的上方时，如图，
同理可求：，
，
，
，
解得：或，
或；
综上所述：或．

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