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2025年江苏省无锡市梁溪区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C. 一组数据的中位数可能有两个
D. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
5. 已知函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 如图所示，转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0， ， ． 随机转动转盘两次，转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（指针固定向上，当指针恰好指在分界线上时按指针左侧相邻区域算）（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺； 若将绳四折测之，绳多一尺． 井深几何？ 这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺； 如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺． 问井深多少尺？ 下列说法正确的是（ ）
A. 设井深为x尺，所列方程为
B. 设绳子的长为x尺，所列方程为
C. 绳子的长是32尺
D. 井深8尺
9. 在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
10. 小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（ ）
A. P，Q，R，S B. P，R，S，Q C. Q，S，P，R D. R，P，S，Q
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）
11. 分解因式：______.
12. 试写出一个含a的代数式，使a不论取什么值，这个代数式的值总是正数_____．
13. 一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有______千米．
14. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________．
15. 如图，已知零件的外径为，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度等于___________．
16. 如图，利用无人机测量雕像的高度，在点处测得雕像底部点的俯角为，水平前行9米到达点，在点处测得雕像顶部点和底部点的俯角分别为和，若点、与雕像均在同一平面内，则雕像的高约为___________米．（参考数据：，）
17. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为_____ ．
18. 图1是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为，将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，则液面到平面的距离是________________；此时杯体内液体的最大深度为_____________________．
三、解答题（本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解不等式组．
20 计算或化简：
（1）；
（2）．
21. 如图，D是的边上一点，，交于点E，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22. 某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．有甲、乙两组同学，每组各8人，按照号进行编号，他们的成绩统计图如下：
小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7
乙组 7
请阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：___________，___________；___________；
（2）根据所学的统计知识，请你利用数据，从不同角度对甲、乙两组的成绩进行比较与评价．
23. 如图，为的直径，点C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，作交切线于点E，连接交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
24. 在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据：
（1）根据以上材料，猜测A号纸长宽之比可能是：______；A． B．（填选项）
（2）证明（1）中猜想的正确性．
（3）现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法．
25. 劳动创造美好生活．某中学在植树节当天开展植树造林活动，需要采购一批树苗．据了解，市场上每棵种树苗价格是种树苗价格的倍，用300元在市场上购买的种树苗的数量比购买种树苗的数量少3棵．学校决定购买，两种树苗共100棵，且种树苗的数量不超过种树苗的数量．树苗公司为支持该校活动，对，两种树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱．
26. 在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究．
活动1】折叠矩形纸片：
第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处．
【活动2】折叠正方形纸片：
第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点．
（1）在活动1中，求证：；
（2）在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长．
27. 如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y：
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质
（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m取值范围．
28. 同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！
【Ⅰ．“手拉手”模型】
如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接．
（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
【Ⅱ．“黄金三角形”】
（3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比．
（4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比．
满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. B．
2. C．
3. B．
4. D．
5. B．
6. B．
7. B
8. D．
9. C．
10. D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）
11. ．
12. （答案不唯一）．
13. 13．
14. ．
15. 1．
16. ．
17. 8．
18. ；.
三、解答题（本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥－2，
解不等式x－5＜，得：x＜，
则不等式组的解集为：－2≤x＜.
20. （1）解：
；
（2）解：
．
21. （1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴．
22. （1）解：将甲组的成绩从小到大顺序排列，中位数为第4位和第5位的平均数，
，
乙组的成绩出现次数最多的是7分，共5次，
，
乙组的成绩9分及以上有2人，
优秀率，
故答案为：；7；．
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，乙组成绩的优秀率为，
从优秀率的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好；
②甲组成绩的中位数为，乙组成绩的中位数为7，
从中位数的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好；
③甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，
从方差的角度来看，乙组的成绩比甲组的成绩更稳定．
23. （1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
根据切线的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
∴，
由（1）得，，
∵由勾股定理可得：，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴的半径为．
24. （1）解：根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：，
故选：A；
（2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，
纸和纸的长宽比例是相等的，
，
解得，
∴A号纸的长宽之比是
（3）解：如图所示，将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线．
由作图可得，四边形为正方形
∴，
由折叠的性质得，，
∴．
25. 解:设种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元．
根据题意，得．
解得．
经检验是所列方程的解，且符合题意．
（元）．
种树苗的单价是25元．
设则买棵B种树苗，则购买棵A种树苗．
根据题意，得，解得．
设学校本次购买树苗共花费元，
则．
随的增大而减小．
当时，取得最小值，．
答：本次购买最少花费2025元．
26. （1）证明：如图，连接．
由图形折叠的特征可得：，，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
设，则．
由图形折叠的特征可得：，，，．
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，即．
27. （1）解：过点A作于点E，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当点P在线段上时，由题意得：，则，过点P作于点F，延长交的延长线于点G，如图所示，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
；
当点P在线段上时，如图，
由题意得：，
∴；
综上所述：；
（2）解：所作函数图象如下所示：
∴该函数的一条性质是当时，y随x的增大而增大；
（3）解：当经过点时，则，即，
当经过点时，则，
当经过点时，则，即，
∴要使与该函数图象有1个交点，则需满足或．
28. 解：（1）连接并延长交于，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴与垂直；
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：垂直，；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，连接交于点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3），设，，则，
∵，即，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴黄金比为；
（4）①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时：
如图，在，，底边与腰的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时：
如图，在，，腰与底边的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．

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