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2024-2025学年江苏省南京市江宁区东山外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．3a﹣1＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．3x2+1＝0 D．
2．关于x的一元二次方程（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0的一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣3或1 B．1 C．﹣3 D．﹣1
3．某服装店一月份营业额为10万元，一季度的营业额共48万元，若平均每月营业额的增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．10（1+x）2＝48 B．10（1+2x）＝48 C．10（1+3x）＝48 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝48
4．如图，∠C＝15°，且＝＝，则∠E的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
第4题 第5题
5．如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（　　）
A．4 B．3 C． D．
6．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　）
A．d（25%）＝1 B．当x＞50%时，d（x）＞1
C．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） D．当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）
二、填空题
7．方程x2＝9的解是 　 　．
8．关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a实数根，则a的取值范围是 　 　．
9．已知⊙O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是 　 　．
10．一个扇形的半径为2cm，弧长为3πcm，则此扇形的面积为 　 　cm2．
11．如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE＝　 　°．
第11题 第13题 第14题 第16题
12．若实数a、b满足（a2+b2）（a2+b2+2）＝8，则a2+b2＝　 　．
13．如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为 　 　．
14．如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是BD上的一点，则∠C＝　 　度．
15．已知半径为10的⊙O中，弦，弦AC＝10，则∠BAC的度数是为 　 　．
16．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，AE＝CP，则AD的最小值为 　 　．
三、解答题
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x+2）2＝3（x+2）．
18．已知关于x的方程x2﹣2mx﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为整数x1，x2，求m的值．
19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC＝BD，AB与CD相等吗？为什么？
20．如图，AB、CD是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，且∠AMN＝∠CNM．
（1）OM与ON相等吗？为什么？（2）判断AB与CD是否相等，并说明理由．
21．如图，直角坐标系中，有一条圆心角为90°的圆弧，且该圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）该圆弧所在圆的圆心M坐标为 　 　．（2）求扇形AMC的面积．
22．超市以每件10元的价格购进了一批玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个．经调查发现，玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润为1400元？
23．实践操作
如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC＝∠DCE．
（1）若∠D＝40°，∠F＝　 　；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使∠BPC＝∠CDP（保留作图痕迹，不写作法）．
24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是不是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
25．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E．
（1）求证：ME是⊙O的切线；
（2）若CD＝5，AC＝8，求ME的长．
26．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：
变形 m n p
（x+1）（x﹣5）＝﹣2 ﹣1 5 ﹣2
x（x﹣4）＝3 0 4 3
（x﹣1）（x﹣t）＝6 1 t 6
（x﹣2）2＝7 2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 　 　；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 　 　；
（2）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），则的值为 　 　．
27．如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C、D两点．直线l与⊙M交于C、E两点，其中交点E在弧AC上．过A点作AP⊥l，垂足为点P，连接AE与AC．
（1）求证：∠AEP＝∠ACD；
（2）连接ED，请探索线段EP、EC、ED之间的等量关系，并说明理由；
（3）若M点的坐标为（2，0），B点的坐标为（﹣2，0），CE的中点为N，则线段BN长度的最大值为 　 　．

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