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第一章 勾股定理 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长是（　　）
A． B．10 C．14 D．不能确定
2．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．6，12，13 B．3，4，7 C．7，24，25 D．8，15，16
3．如图，以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形．已知正方形A面积为225，正方形B面积为289，则正方形C的边长为（　　）
A．64 B．514 C．8 D．11
4．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或4 D．5或
5．下列条件下，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（　　）
A．5或 B． C．5 D．2或5
7．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　）
A．20 B．10 C．10 D．28
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则下列判断不正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．下列所给的各组线段，能组成直角三角形的是：（　　）
A．3cm、4cm、5cm B．2cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、6cm D．3cm、5cm、6cm
10．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 处有一滴糖浆，容器外 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 ，宽为 ，高为 ，点 距底部 ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm．
12．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则　 　．
13．如图，在矩形ABCD 中，将矩形沿对角线BD折叠，点A 的对应点为点A'，A'D交BC于点E，若AB=12，AD=18，则 sin∠A'BE 的值为　 　.
14．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹推断，若的周长为，则的面积是　 　．
15． 如图，池塘边有两点A，B，点C是与AB方向成直角的BC方向上一点，测得BC＝80m，
AC＝170m，则A，B两点间的距离为　 　m．
16．如图，四边形中，，．，若，则的长为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示的一块草地，已知，，，，，求这块草地的面积．
18．如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300km.
问：
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？
（2）若轮船进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？(结果精确到0.01h)
19．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90，点A，C，D依次在同一直线上，且AB平行DE.
（1）
求证：△ABC≌△DCE
（2）
连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长.
20．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝ CD，点E是CD的中点.
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AC＝4，AD＝4 ，求四边形ABCE的面积.
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC上的一点，连接AD，作CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F.
（1）求证：AD= CF
（2）若AC=2 ，D为BC的中点，求出EF的长.
22．如图，在中，是上一点，若，，，.
（1）求证：；
（2）求的面积.
23．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E，连接，在点P的运动过程中，当平分时，直接写出t的值．
24．如图，在RtΔABC 中， ，在RtΔBDE 中， ， ， .
（1）若AB=4， ，求AC的长；
（2）连接CD，连接AE交BD于F点，若点F恰好是线段AE的中点，求证：CD=2BF.
25．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
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第一章 勾股定理 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长是（　　）
A． B．10 C．14 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的边长分别为6和8，
∴根据勾股定理得，斜边 ，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理：直角三角形的斜边的长等于两直角边的平方和的算术平方根即可直接算出答案.
2．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．6，12，13 B．3，4，7 C．7，24，25 D．8，15，16
【答案】C
【解析】【解答】C中， ，满足勾股股定理逆定理，是勾股数；
故答案为：C
【分析】直接计算验证各选项是否满足勾股定理逆定理即可．
3．如图，以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形．已知正方形A面积为225，正方形B面积为289，则正方形C的边长为（　　）
A．64 B．514 C．8 D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形
∴SA+SC=SB，
∵正方形A面积为225，正方形B面积为289，
∴SC=289-225=64
∴正方形的边长为.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可知SA+SC=SB，代入计算可求出正方形C的面积，然后求出正方形C的边长.
4．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或4 D．5或
【答案】D
【解析】【解答】解：由已知条件在直角三角形中可得，
由勾股定理可知，当3和4分别的直角边时，
第三边，
当3是直角边，4是斜边时，
第三边.
故答案为：5或.
【分析】根据直角三角形勾股定理，分两种情况，第一种情况为当3和4分别的直角边时，求第三边，第二种情况是当3是直角边，4是斜边时，求第三边.
5．下列条件下，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
6．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（　　）
A．5或 B． C．5 D．2或5
【答案】A
【解析】【解答】解：当3和4为这个直角三角形的两直角边长时，则有第三边长为；
当3为一条直角边长，4为斜边时，则第三边长为．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理计算求解即可。
7．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　）
A．20 B．10 C．10 D．28
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=5，AC=7，BC=8，
过A作AD⊥BC于D，
∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，
∴52-BD2=72-（8-BD）2，
解得：BD= ，
∴AD= ，
∴△ABC的面积=10 ，
故答案为：C.
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则下列判断不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据勾股定理得到：C与D的面积的和是F的面积；A与B的面积的和是E的面积；而E，F的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∴SE＝18，SF＝13，SM＝10+8+9+4＝31，故A、B、C选项不符合题意，
∴SM－SE＝13，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理得到C与D的面积的和是F的面积；A与B的面积的和是E的面积；而E，F的面积的和是M的面积，据此逐一判断即可.
9．下列所给的各组线段，能组成直角三角形的是：（　　）
A．3cm、4cm、5cm B．2cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、6cm D．3cm、5cm、6cm
【答案】A
【解析】【解答】解：A、32+42=25=52，能构成直角三角形，符合题意；
B、22+32=13≠52=25，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、22+32=13≠62=36，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、32+52=34≠62=36，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理逆定理，即较小两边的平方和等于最大边的平方，这个三角形就是直角三角形，据此逐项分析即可判断.
10．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 处有一滴糖浆，容器外 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 ，宽为 ，高为 ，点 距底部 ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，
将容器展开：
∵
∴蚂蚁需爬行的最短距离是
故答案为：D
【分析】沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，分三总情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm．
【答案】10
【解析】【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =10cm．
故答案为10．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
12．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则　 　．
【答案】
13．如图，在矩形ABCD 中，将矩形沿对角线BD折叠，点A 的对应点为点A'，A'D交BC于点E，若AB=12，AD=18，则 sin∠A'BE 的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
根据折叠的性质可知，∠A'=∠A=90°，A'B=AB=CD，
∵ ∠A'EB=∠CED，
∴△A'EB≌△CED，
∴BE=DE，A'E=CE.
在Rt△CDE中， (勾股定理)，即
解得CE=5，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质和折叠得到△A'EB≌△CED，即可得到BE=DE，A'E=CE，再在Rt△CDE中，利用勾股定理得到CE长，根据正弦的定义解答即可.
14．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹推断，若的周长为，则的面积是　 　．
【答案】
15． 如图，池塘边有两点A，B，点C是与AB方向成直角的BC方向上一点，测得BC＝80m，
AC＝170m，则A，B两点间的距离为　 　m．
【答案】150
【解析】【解答】解：由题意∠ABC=90°，
∵BC=80，AC=170，
∴AB=.
故答案为：150.
【分析】由题意，用勾股定理可求解.
16．如图，四边形中，，．，若，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，
∴∠CED=90°，
∴∠ECD+∠CDE=90°，
∵∠CDA=90°，
∴∠CDE+∠ADB=90°，
∴∠ECD=∠ADB，
在△CDE和△DAB中，
∵∠ECD=∠ADB，∠CED=∠DBA=90°，CD=DA，
∴△CDE≌△DAB，
∴CE=DB，DE=AB=1，
∵
∴BD=4，
∴CE=4，BE=BD-DE=3，
在Rt△BCE中，
故第1空答案为：5.
【分析】如图，过点C作CE⊥BD于点E，首先利用AAS证明△CDE≌△DAB，可得出CE=DB，DE=AB=1，然后根据△BCD的面积为8，可求得BD=CE=4，进一步得出BE=3，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求得BC的长。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示的一块草地，已知，，，，，求这块草地的面积．
【答案】这块草地的面积是216．
18．如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300km.
问：
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？
（2）若轮船进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？(结果精确到0.01h)
【答案】（1）解：轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区.
如图，设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=30x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=300km，
∴AE=400-30x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-30x）2+（300-20x）2=2002，
解得： ， （舍去），
答：轮船会进入台风影响区.
（2）解：由（1）可知，当经8.3小时时轮船就进入台风影响区.
【解析】【分析】（1）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出，即可判断是否受台风影响；
（2）根据（1）中台风影响的时间即可确定进入台风影响区的时间.
19．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90，点A，C，D依次在同一直线上，且AB平行DE.
（1）
求证：△ABC≌△DCE
（2）
连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠CDE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5，
∴AE==13.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠BAC=∠CDE，然后利用角角边定理证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得CE的长度，然后利用勾股定理求出AE的长即可.
20．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝ CD，点E是CD的中点.
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AC＝4，AD＝4 ，求四边形ABCE的面积.
【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝ CD，
∵AB＝ CD，
∴CE＝AB，
在△ABC和△CEA中，
，
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴BC＝AE；
（2）解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD＝ ，
∴CE＝2，
∵△ABC≌△CEA，
∴S四边形ABCE＝2S△ACE＝CE×AC＝2×4＝8.
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义及AB＝ CD，可证得AB=CE；利用SAS可证得△ABC≌△CEA，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CD的长，由此可求出CE的长；再利用全等三角形的性质可证得S四边形ABCE＝2S△ACE，代入计算可求解.
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC上的一点，连接AD，作CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F.
（1）求证：AD= CF
（2）若AC=2 ，D为BC的中点，求出EF的长.
【答案】（1）证明： .
，
.
又
（2）解： .
为BC的中点， .
，勾股定理得， .
.
【解析】【分析】（1）由∠ACB=90°和BF∥AC得∠ACB=∠CBF=90°，再由CE⊥AD，通过互余等量代换可得∠EAC=∠BCF，加上AC=BC可以证明△ACD≌△CBF即可证明AD=CF；
（2）由（1）△ACD≌△CBF得，AC=BC=，AD=CF；再根据斜边中线式斜边一半可求出CD=BD=，在直角三角形ACB中利用勾股定理求得AD，最后通过直角三角形ACD的面积求出CE，通过线段差关系求出EF即可.
22．如图，在中，是上一点，若，，，.
（1）求证：；
（2）求的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 的面积为 .
∴ 的面积为60.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，先求出BD2+AD2和AB2的值；再证明BD2+AD2=AB2，由此可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CD的长，再利用三角形的面积公式求出△ADC的面积.
23．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E，连接，在点P的运动过程中，当平分时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：根据题意，得 BP=2t ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理，得 ；
（2）解：在 中， ，
由勾股定理，得 ．
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ， ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ．
答：当 为等腰三角形时，t的值为 、16、5；
（3）解：①点P在线段 BC 上时，过点D作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∵ PD 平分 ，
∴ ，
又∵ PD=PD ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点P在线段 BC 的延长线上时，过点D作 于E，如图2所示：
同①得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分 ．
【解析】【分析】（1）根据题意得BP=2t，则PC=16-2t=16-2×3=10，然后利用勾股定理就可求出AP；
（2）由勾股定理可得AB的值，然后分BP=AB、AP=AB、PB=PA，求解可得t的值；
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，根据角平分线的概念可得∠EPD=∠CPD，利用AAS证明△PDE≌△PDC，得到ED=CD=3，PE=PC=16-2t，则AD=AC-CD=5，由勾股定理可得AE，然后根据AP=AE+PE可得AP，在Rt△APC中，利用勾股定理可得t的值；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同理进行求解.
24．如图，在RtΔABC 中， ，在RtΔBDE 中， ， ， .
（1）若AB=4， ，求AC的长；
（2）连接CD，连接AE交BD于F点，若点F恰好是线段AE的中点，求证：CD=2BF.
【答案】（1）解：如图，在△ABC和△DBE中，
∵ ，
∴△ABC≌△DBE（ASA），
∴BC＝BE＝ ，
由勾股定理得：AC＝ ；
（2）证明：如图，过A作AM⊥BD于M，
∵EB⊥BD，
∴∠AMB＝∠EBD＝90°，
∵F是AE的中点，
∴AF＝EF，
在△AFM和△EFB中，
∵ ，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM＝BE＝BC，BF＝FM，
∴BM＝2BF，
∵∠DBC＋∠ABF＝90°，
∠ABF＋∠BAM＝90°，
∴∠DBC＝∠BAM，
在△ABM和△BDC中， ，
∴△ABM≌△BDC，
∴CD＝BM＝2BF.
【解析】【分析】（1）易证△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得BC=BE，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过A作AM⊥BD于M，由中点的概念可得AF＝EF，证明△AFM≌△EFB，得到AM＝BE＝BC，BF＝FM，则BM＝2BF，由同角的余角相等可得∠DBC＝∠BAM，证明△ABM≌△BDC，据此解答.
25．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
【答案】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即
（2）解：在 中，
在 中，
所以 ，
解得
（3）解：∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a +3ab+b
∴边长为：（a+b），（a+2b）
由此可画出的图形为：
【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设BD=x， 是 边上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
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