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实数 单元培优提分卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
4．下列说法中正确的是（　　）
A．和数轴上一一对应的数是有理数
B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数
D．不带根号的数都是有理数
5．下列根式中，与是同类二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
6．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列实数中，是无理数的为（　　）
A． B． C．0 D．-3
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）
A．b B．﹣b C．2a﹣b D．﹣2a+b
9．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　）
A． B． C． D．3
10．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（　　）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的整数部分是a，小数部分是b，则　 　
12．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是　 　．
13．根据如图所示的计算程序，若输入的 x 的值为 的算术平方根，则输出的 y 的值为　 　.
14．　 　.
15．若k＜ ﹣1＜k＋1（k为整数），那么k的值为　 　．
16．若m、n是9的两个平方根，则　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小明因眼睛近视，他能看到大海的最远距离s（单位：）可用公式来估计，其中h（单位：m）是眼睛离海平面的高度．
（1）如果小明站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
（2）若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为米，求观望台离海平面的高度？
（3）如图，货轮B与观望台A相距35海里，请用方向和距离描述观望台A相对于货轮B的位置 ．
18．
（1）已知，求x的值．
（2）已知与是正数m的平方根，求m的值．
19．比较大小：
（1）
－ 　 　－3.14；
（2）
－（－3）　 　 .
20．求值：
（1）求x的值：．
（2）已知2（x﹣1）3+54＝0，求x的值．
21．已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．
（1）求长方形的周长；
（2）当 时，求正方形的周长．
22．
（1）一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？
（2）已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值.
23．已知和是某正数的两个平方根，的立方根为-2.
（1）求a，b的值；
（2）求的平方根.
24．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9.
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由；
（2）求阴影部分的面积.
25．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
（1）的整数部分是　 　；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
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实数 单元培优提分卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
3．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
【答案】C
【解析】【解答】2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，∵7.84＜8＜8.41，∴，∴的点落在段③，故选：C．
【分析】根据数的平方，即可解答．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．和数轴上一一对应的数是有理数
B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数
D．不带根号的数都是有理数
【答案】B
【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．两个无理数相乘或相加也可能是有理数，无限循环小数在数轴上也可以表示出来，由此即可判定选择项．
【解答】A、和数轴上一一对应的数是实数，故本选项错误；
B，数轴上的点可以表示所有的实数，本选项正确；
C，带根号，但是有理数，故本选项错误；
D，π不带根号，但π是无理数，故本选项错误；
故选B.
【点评】初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．下列根式中，与是同类二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简各选项的二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】∵=2，=2，=，=3，
∴与是同类二次根式的是．
故选B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
6．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
7．下列实数中，是无理数的为（　　）
A． B． C．0 D．-3
【答案】A
【解析】【解答】A、是无理数，选项正确；B、是分数，是有理数，选项错误；C、是整数，是有理数，选项错误；D、是整数，是有理数，选项错误．故选A．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）
A．b B．﹣b C．2a﹣b D．﹣2a+b
【答案】B
9．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
10．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（　　）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的整数部分是a，小数部分是b，则　 　
【答案】
12．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是　 　．
【答案】
13．根据如图所示的计算程序，若输入的 x 的值为 的算术平方根，则输出的 y 的值为　 　.
【答案】1
【解析】【解答】∵ =4，
∴ 的算术平方根为2，即输入的x的值为2，
则输出y的值为 x=1，
故答案为：1.
【分析】由算术平方根的意义可得x=2，再把求得的x的值代入程序即可求解.
14．　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：
.
故答案为：3.
【分析】根据算术平方根的概念可得原式=4-1，然后根据有理数的减法法则进行计算.
15．若k＜ ﹣1＜k＋1（k为整数），那么k的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴2＜ ＜3，
∵k＜ ＜k+1（k为整数），
∴k=2，
故答案为：2．
【分析】根据题意，估算得到的值，继而估算范围即可。
16．若m、n是9的两个平方根，则　 　．
【答案】0
【解析】【解答】9的两个平方根为3或-3，
两个平方根互为相反数，
【分析】先求出9的两个平方根，从而求解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小明因眼睛近视，他能看到大海的最远距离s（单位：）可用公式来估计，其中h（单位：m）是眼睛离海平面的高度．
（1）如果小明站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
（2）若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为米，求观望台离海平面的高度？
（3）如图，货轮B与观望台A相距35海里，请用方向和距离描述观望台A相对于货轮B的位置 ．
【答案】（1）
（2）米
（3）观望台A在货轮的南偏西60度方向，相距35海里位置
18．
（1）已知，求x的值．
（2）已知与是正数m的平方根，求m的值．
【答案】（1）解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x=3或-1．
（2）解：∵与是正数m的平方根，
∴=0，
解得：a=-1，
则这个正数的值为m=[2×（-1）-1]2=9．
【解析】【分析】（1）利用平方根的性质可得x-1=±2，再求解即可；
（2）根据平方根的性质可得 =0， 求出a的值，再代入计算即可。
19．比较大小：
（1）
－ 　 　－3.14；
（2）
－（－3）　 　 .
【答案】（1）＜
（2）＞
【解析】【解答】解：（1）|-π|=π，|-3.14|=3.14，
∵π＞3.14，
∴-π＜-3.14；（2）-（-3）=3， ，
∵3＞-3
∴-（-3）＞
【分析】（1）根据两个负数相比较，绝对值大的反而小解答即可；（2）先去括号和绝对值，再比较大小.
20．求值：
（1）求x的值：．
（2）已知2（x﹣1）3+54＝0，求x的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平方根的计算方法求解即可；
（2）利用立方根的计算方法求解即可。
21．已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．
（1）求长方形的周长；
（2）当 时，求正方形的周长．
【答案】（1）∵a = = ，b = = ，
∴长方形的周长是：2(a+b)=2( + )= ；
（2）设正方形的边长为x，则有x2=ab，
∴x= = = = ，
∴正方形的周长是4x= ．
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后列式计算即可；（2）利用二次根式乘法计算即可得出答案．
22．
（1）一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？
（2）已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值.
【答案】（1）解：根据题意，得（2a 1）＋（a 5）＝0.
解得a＝2.
∴这个非负数是（2a 1）2＝（2×2 1）2＝9.
（2）解：根据题意，分以下两种情况：
①当a 1与5 2a是同一个平方根时，
a 1＝5 2a，解得a＝2.
此时，m＝12＝1；
②当a 1与5 2a是两个平方根时，
a 1＋5 2a＝0，解得a＝4.
此时，m＝（4 1）2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.
【解析】【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，0的平方根是0，而互为相反数的两个数的和为0，建立方程，求解可得a的值，进而根据平方根的定义可求出这个数；
（2）分类讨论： ①当a 1与5 2a是同一个平方根时， ②当a 1与5 2a是两个平方根时， 分别列出方程，求解得出a的值，进而根据平方根的定义求出m的值.
23．已知和是某正数的两个平方根，的立方根为-2.
（1）求a，b的值；
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：∵和是一个正数的两个平方根，
∴，
∴，
∵的立方根为-2，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴的平方根是.
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数可得2a-7+a+4=0，求解可得a的值，根据立方根的概念可得b-12=(-2)3，求解可得b的值；
（2）根据a、b的值可得a+b的值，然后根据平方根的概念进行计算.
24．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9.
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由；
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：小正方形的边长.
∵4＜6＜9，∴，∴小正方形的边长在2和3之间.
（2）解：大正方形的边长3，小正方形的边长，
所以阴影部分的面积=（）=.
【解析】【分析】（1）首先根据正方形面积的计算方法，由算出平方根的定义得出正方形的边长，利用估算无理数的大小，可知 ，即可求解；
（2）利用正方形的面积可求出两个正方形的边长，利用平移法可知阴影部分的图形的长和宽，再利用长方形的面积的计算方法，可求出阴影部分的面积.
25．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
（1）的整数部分是　 　；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即．
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴8＜＜9，
∴的整数部分是8；
故答案为：8.
【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可；
（2）根据题目提供的方法进行解答即可.
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