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2025 年 7 月上海交大附中夏令营数学试卷
一、填空题：本题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分。
1.已知 2 + 7 = 0， 2 + 4 = 0( ≠ 0) 2 + + ，则 2 + = ______．
2.若| 3 2| + 3 + 2 = 0，则代数式 + 3 的值为______．
+ + 1 = 0
3.若关于 ， 的方程组 2 + 1 = 0有无数组解，则 ( )
2 =______．
4.如图，通过画边长为 1 的正方形，就能准确地把 2表示在数轴上点 1处，记 1右侧最近的整数点为 1.
以点 1为圆心， 1 1为半径画半圆，交数轴于点 2，记 2右侧最近的整数点为 2；以点 2为圆心， 2 2
为半径画半圆，交数轴于点 3，…，如此继续，则 7 7的长为______．
5.下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是 0 和 1；③已知关于 、
+ = 1
的二元一次方程组 = 3 + 5，不论 取什么有理数，2 + 的值始终不变；④已知正实数 的平方根
是 + 和 + ，若( + )2 + ( + )2 = 4050，则 = 45；⑤若不等式| 1| + | 4| ≥ 对一切实数
都成立，则 的最大值是 5；其中真命题是：______. (请填序号)
6.一个正整数 能写成 = 2 2( , 均为正整数)，则称 为“美满数”， ， 为 的一个美满分解，并规
定： ( ) = .如果一个两位正整数(十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与
原数是 4752 的一个美满分解，则 (4752)的值为______．
7.已知关于 的多项式 1( > 0)，当 1 < ≤ 3 时，该多项式有 2 个整数值，则 的取值范围是
______．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线 与正方形 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
已知点 (1,3)，则点 的坐标为______．
9.如图，平面直角坐标系 中，直线 ： = 33 + 3与 轴， 轴分别交
于 ， 两点，∠ = 30°，点 是直线 上一动点，将点 向左平移 1 个单位
得到点 ，点 ( 1,0)，则 + 的最小值为______．
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10.已知抛物线 = 2 1 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ，如果△ 为直
角三角形，则 = ______．
11.如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，与反比例函数 = 8 2 ( < 0)
的图象交于 、 两点.若 、 两点为线段 的三等分点，连接 、 ，则△
面积为______．
二、解答题：本题共 3 小题，共 45 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题 15 分)
某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究．
(1)【感知问题】如图 1，在四边形 中，点 在边 上(点 不与 ， 重合)，∠ = ∠ = ∠ = 90°.
易证：△ ∽△ . (不需要证明)
(2)【探究问题】如图 2，在四边形 中，点 在边 上(点 不与点 ， 重合)，∠ = ∠ = ∠ .求证：
△ ∽△ ．
(3)【知识应用】如图 3，在△ 中， = = 6， = 7.点 在边 上(点 不与点 ， 重合)，连接 ，
作∠ = ∠ ， 与边 交于点 ．
( )当 = 2 时，求 的长；
( )当△ 是等腰三角形时，求 的长．
13.(本小题 15 分)
1 3
如图，直线 = 2 + 与 轴， 轴及直线 = 2 + 5 分别交于点 ( 2,0)， ， ．
(1)求点 和点 的坐标；
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(2) 为 轴上点 右侧一动点，以 ， 为邻边作 ，连接 ， ．
①求 + 的最小值；
②在点 移动过程中，∠ 能否等于 45°？若能，请求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．
14.(本小题 15 分)
在矩形 中，点 在边 上，将线段 绕点 顺时针旋转 90°，点 的对应点 恰好落在 上．
(1)如图 1，求证： = ；
(2)连接 ，作∠ 的平分线交 于点 ，交 于点 ．
①如图 2，判断点 是否为线段 的中点，并说明理由；
②如图 3，连接 交 于点 ，若 = = 1，求 的长．
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参考答案
1. 83
2.10
3.2
4.2 2
5.②③④
6.74
7.{ |1 ≤ < 32 }
8.(0,5)
9. 7
10.34
11.6 2
12.(1)证明：因为∠ = ∠ + ∠ ，因此∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
又因为∠ = ∠ ，因此∠ = ∠ ，又因为∠ = ∠ ，
因此△ ∽△ ；
(2)证明：因为∠ + ∠ = ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ ，
因此∠ = ∠ ，又因为∠ = ∠ ，因此△ ∽△ ；
(3)( )因为∠ + ∠ = ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ ，
因此∠ = ∠ ，又 = = 6，因此∠ = ∠ ，因此△ ∽△ ；
= 因此 ，因为 = 2 ，因此 = 2，因此 = = 2 × 6 = 12，
又因为 = 7，因此 (7 ) = 12，解得 = 3 或 = 4；
( )当 = 时，∠ = ∠ ，
又因为∠ > ∠ ，∠ = ∠ = ∠ ，因此 = 不成立；
当 = 时，结合( )可得△ △ ，因此 = = 6，
又 = 7，因此 = = 7 6 = 1；
当 = 时，∠ = ∠ ，
又因为∠ = ∠ ，因此∠ = ∠ ，因此 = ，
又因为△ △ ∽ ，因此 = = ，
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又因为 = = 7 ， = = = 6 ，
6 7
因此 = = 6 ，设 = ， = ，
6 = 7 36 36则 = 6 ，解得 = 7，即 = 7，
因此 = = 7 36 = 137 7，
= 137或 = 1．
13.解：(1) 1由直线 = 2 + 过点 ( 2,0)
1
，得 0 = 2 × ( 2) + ，解得 = 1，
则点 的坐标为(0,1)，
= 32 + 5 = 2由 1 ，解得 = 2，则点 的坐标为 (2,2)． = 2 + 1
(2)①由(1)得点 是线段 的中点，即 = ，
由 ，得 // ， = = ，连接 ，则四边形 是平行四边形，
于是 = ，令点 关于 轴对称点为 ′，连接 ′， ′，
因此 + = + = + ′ ≥ ′，当且仅当点 ， ， ′三点共线时取等号，
而 ′(0, 1)，过 作 ⊥ 轴于点 ，则 = 2， ′ = 3， ′ = 2 + ′ 2 = 13，
所以 + 的最小值为 13．
②在点 移动过程中，∠ 能等于 45°，理由如下：
当∠ = 45°时，过 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，过 作直线 // 轴，
过 ， 作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，则△ 为等腰直角三角形， = ，
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由∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，得∠ = ∠ ，
则 △ ≌ △ ， = = 2，设 ( ,0)，则 = = 2 ，
则点 (4, ) 1 1，由 // ，得直线 方程为 = 2 2 ，
1 1
因此 = 2 × 4 2 ，解得 =
4 4
3，点 ( 3 , 0)，
所以在点 移动过程中，∠ 能等于 45°，点 ( 43 , 0)．
14.(1)证明：根据题意可知 = ，∠ = ∠ = 90°，
因为将线段 绕点 顺时针旋转 90°得到线段 ，
所以 = ，∠ = 90°，
所以∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
所以∠ = ∠ ，
所以△ ≌△ ，
所以 = ，
所以 = ．
(2)①点 为线段 的中点，理由如下：
作出示意图如下：
因为∠ = 90°， = ，
所以∠ = ∠ = 45°，
因为 平分∠ ，∠ = 90°，
所以∠ = ∠ = ∠ = 45°，
又∠ = ∠ ，
所以△ ∽△ ，

所以 = ，
又∠ = ∠ ，
所以△ ∽△ ，
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所以∠ = ∠ = 45°，
所以∠ = ∠ + ∠ = 90°，
所以 ⊥ ，
所以点 是线段 的中点．；
②如图，连接 ，
因为 ⊥ ，∠ = 90°， = ，
所以 = = ，∠ = ∠ = 45°，
又 = = 1，
所以 = = 2， = = 1， = 3，
又△ ≌△ ，
所以∠ = ∠ ，
又∠ = ∠ = ∠ = 45°，
所以∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
所以∠ = ∠ ，又 = ，
所以△ ≌△ ，
所以 = ，
所以∠ = ∠ = 45°，∠ = 90°，
所以 = 45° = 3 22 ，
所以 = 2 + 2 = 10，
= 1所以 2 =
10
2 ，
又∠ = 90° ∠ = 45° = ∠ ，∠ = ∠ ，
所以△ ∽△ ，

所以 =

，
2
所以 = = (
10
2 )
2 ÷ 3 22 =
5 2
6 ．
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