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三角形 单元同步测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（　　）
A． B． C． D．
2．下列事例应用了三角形稳定性的有（　　）
①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜；③四边形模具；④桥梁使用的三角架建筑结构．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
4．已知等边三角形的边长为3，P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（　　）
A． B． C． D．不能确定
5．已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为（　　）
A．0 B． C． D．
6．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）.
A． B． C． D． 或
7．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（　　）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知等腰三角形的两边长分别为60m和8m，则三角形的周长是　 　
12．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为　 　．
13．右图是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为 ，点 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点 也在此 的正方形网格的格点上，且 是等腰三角形，请写出一个满足条件的点 的坐标　 　；满足条件的点 一共有　 　个．
14．已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为　 　．
15．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是　 　．
16． 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为　 　.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
18．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是，若它的一条边长为，求它的另两条边长.
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长.
19．已知等腰三角形的周长为20，腰长为x．
（1）若腰长是底边长的2倍，求底边的长；
（2）求x的取值范围．
20．已知等腰三角形的周长是13.
（1）如果腰长是底边长的 ，求底边的长；
（2）若该三角形其中两边的长为3x和2x+ 5，求底边的长.
21．用一根长度为 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于 ，请简单说明原因.
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为 ，请求出 的取值范围.
22．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　 　个三角形.
23．如图，点A，B，C是同一平面内三个点，按要求画图，并回答问题．
（1）画直线AB；
（2）画射线AC，用圆规在线段AC的延长线上截取CD＝AC（保留作图痕迹）；
（3）连接BD，观察图形发现，AD＋BD＞AB，得出这个结论的依据是　 　．
24．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使 DE=EF。
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE=α， ∠AEM=β。
①求∠DEM(用含α，β的代数式表示）；
②若β=90°-2α，求证：2DE2=DM·DA。
25．
（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
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三角形 单元同步测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．下列事例应用了三角形稳定性的有（　　）
①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜；③四边形模具；④桥梁使用的三角架建筑结构．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
3．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，是等边三角形，
，
为中点，，，
，
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为10．
故选：．
【分析】本题考查点关于直线对称.已知是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出.先作点关于的对称点，根据对称性可推出，所以当在同一条直线上时，的值最小，根据条件可证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出：，据此可求出的最小值
4．已知等边三角形的边长为3，P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
等边三角形的边长为3，
高线
，
，
，
，
即点P到三角形三边距离之和为
．
故答案为：C．
【分析】利用等边三角形的性质可得
，再利用
，可得
，即可得到
，从而得到答案。
5．已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三条边，
∴
∴原式=
=
=
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系定理得到：再根据绝对值的性质化简即可.
6．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）.
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】【解答】等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
①当4是腰时，4＋4＝8，不能构成三角形；
②当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8＋8＋4＝20．
故答案为：C．
【分析】考查分类讨论思想，注意三点，第一：当条件和问题有多种理解时要讨论，例如一边长为4，另一边长为8可理解为腰为4 底为8 ， 也可理解为腰为8 底为4， 第二：分类讨论要不重不漏，列举所有情况，第三：检查每种情况是否符合题意，例如当4是腰时，4＋4＝8，不能构成三角形。
7．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】【解答】解：①当外角与底角相邻时，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
②当外角与顶角相邻时，如图：
∵，
∴，
故顶角的度数为或
故答案为：C．
【分析】分两种情况：①当外角与底角相邻时，②当外角与顶角相邻时，再分别画出图形并求解即可。
8．如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
9．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
10．三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（　　）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得
1、当第二长的边也是8时，则第三边长可以为：1、2、3、4、5、6、7、8，共8个；
2、当第二长的边是7时，则第三边长可以为：2、3、4、5、6、7，共6个；
3、当第二长的边时6时，则第三边长可以为：3、4、5、6，共4个；
4、当第二长的边是5时，则第三边长可以为：4、5，共2个；
综合以上，共有8+6+4+2=20个。
故选：D.
【分析】根据题意可知：分当第二长的边为8、7、6、5时四种情况，然后根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知等腰三角形的两边长分别为60m和8m，则三角形的周长是　 　
【答案】128m
【解析】【解答】∵等腰三角形的两边长分别为60m和8m，
∴当60m是腰时， ＞8，满足构成三角形的条件，
∴等腰三角形的周长为： m；
当8m是腰时， ＜60，不满足构成三角形的条件，
∴三角形的周长是 ．
故答案是： 128m ．
【分析】分两种情况讨论，再结合三角形三边的关系即等腰三角形的性质求解即可。
12．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为　 　．
【答案】
13．右图是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为 ，点 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点 也在此 的正方形网格的格点上，且 是等腰三角形，请写出一个满足条件的点 的坐标　 　；满足条件的点 一共有　 　个．
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可）；8
【解析】【解答】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，正确的格点有5个；
②如图，以B为圆心，AB为半径作圆弧，正确的格点有3个；
③如图，在AB的垂直平分线上时，无正确的格点；
综上，正确的格点共有8个，
故答案为： （答案不唯一，符合题意即可）；8．
【分析】分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆交网格的格点即是点C，再作出AB的垂直平分线与网格的交点也是点C。
14．已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，
当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；
当时，
∴，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的根，由等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当时，根据三角形三边关系定理判断是否能构成三角形，然后代入一元二次方程可得关于k的方程，解方程即可求解；②当时，同理可求解．
15．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】5
16． 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为　 　.
【答案】3
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠ABE＝∠CBE，根据二直线平行内错角相等得出 ∠FEB＝∠CBE， 故 ∠FBE＝∠FEB， 根据等角对等边得出 FB＝FE.
18．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是，若它的一条边长为，求它的另两条边长.
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长.
【答案】（1）解：分类讨论：①若边长为的边为腰时，则另一个腰长为6cm，底边长为，
∵，符合三角形三边关系，故符合题意；
②若边长为的边为底时，则该等腰三角形的腰长为，
∵，符合三角形三边关系，故符合题意；
综上可知它的另两条边长为6cm和8cm或7cm和7cm；
（2）解：分类讨论：①若边长为4的边为腰时，则该等腰三角形的三条边分别为：4、4、9，
∵，不符合三角形三边关系，故舍取；
②若边长为4的边为底时，则该等腰三角形的三条边分别为：4、9、9，
∵，符合三角形三边关系，故该等腰三角形的周长为4+9+9=22.
综上可知这个等腰三角形的周长为22.
【解析】【分析】（1）分①6cm为腰长，②6cm为底边，根据等腰三角形的性质以及周长求出另一边的长，然后根据三角形的三边关系进行判断即可；
（2）分①4为腰长，②4为底边长，根据等腰三角形的性质以及三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
19．已知等腰三角形的周长为20，腰长为x．
（1）若腰长是底边长的2倍，求底边的长；
（2）求x的取值范围．
【答案】（1）底边的长为4
（2）x的取值范围为
20．已知等腰三角形的周长是13.
（1）如果腰长是底边长的 ，求底边的长；
（2）若该三角形其中两边的长为3x和2x+ 5，求底边的长.
【答案】（1）解：设底边长＝a，则腰长＝ a，
∵等腰三角形的周长是13.
∴a＋ a＋ a＝13，
解得a=5
∴底边的长为5
（2）解：①3x=2x+5，解得x=5，腰长为15，不符合题意；
②3x+3x+2x+5=13，解得x=1，则三边分别为3，3，7，不能组成三角形；
③3x+2x+5+2x+5=13，解得x= ，则三边分别为 ， ， ；
∴底边为
【解析】【分析】（1） 设底边长＝a，则腰长＝ a， 根据等腰三角形的周长是13列出方程，求解即可；
（2）分①3x与2x+5都为腰，②3x为腰2x+5为底，③2x+5为腰3x为底三种情况，根据三角形的周长为13列出方程，求解得出x的长，再根据三角形三边的关系进行检验，即可得出答案.
21．用一根长度为 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于 ，请简单说明原因.
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为 ，请求出 的取值范围.
【答案】（1）解：设底边长度为 ，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为 ，
∴ ，
解得， ，
∴此时的底边长度是 .
（2）解：原因：假设可以围成腰长为4的等腰三角形，则该三角形的三边长分别为： ， ， ，
∵ ，
∴无法构成三角形，故所围成的等腰三角形的腰长不可能等于 .
（3）解：∵等腰三角形的腰长为 ，
∴等腰三角形的底边长为 ，由 ，得 ，
∴ 的取值范围为： .
【解析】【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得底边的长；
（2）由题意直接利用三角形三边关系进行检验即可说明原因；
（3）假设所围成的等腰三角形的腰长为 ，由题意直接利用三角形三边关系列不等式组进而即可求出 的取值范围.
22．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　 　个三角形.
【答案】（1）3
（2）6
【解析】【解答】（1）以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：3；6
【分析】（1）根据三角形的定义，再选择一个点，然后顺次连接可画出图形。
（2）利用三角形的定义，再在A、B、D、E中任意选择两点，然后顺次连接可画出图形。
23．如图，点A，B，C是同一平面内三个点，按要求画图，并回答问题．
（1）画直线AB；
（2）画射线AC，用圆规在线段AC的延长线上截取CD＝AC（保留作图痕迹）；
（3）连接BD，观察图形发现，AD＋BD＞AB，得出这个结论的依据是　 　．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求
（2）解：如图，射线和线段即为所求；
（3）两点之间线段最短
【解析】【解答】解：（3）如图，连接，
观察图形发现，，得出这个结论的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作图即可；
（3）根据线段的性质求解即可。
24．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使 DE=EF。
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE=α， ∠AEM=β。
①求∠DEM(用含α，β的代数式表示）；
②若β=90°-2α，求证：2DE2=DM·DA。
【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，又D为BC中点
∴AD⊥BD
∴∠ADB=90°
又∵E为AB中点
∴AE=BE…
∴DE=EF
∴四边形ADBF为平行四边形
又∠ADB=90°
∴□ADBF为矩形

（2）解：①四边形ADBF为矩形
∴AE=DE， ∠DAF=90°，DF=2DE
∴∠ADE=∠MAE=α
又∵∠AEM=β
∴∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β
∴∠DEM=180°-∠DME-∠ADE=180°-2α-β
②∵β=90°-2α
∴∠DEM=180°-2α-β=90°
∴∠DEM=∠DAF
又∵∠MDE=∠FDA
∴△DEM∽△DAF
∴
∴DM·DA=DE·DF
即 DM·DA=DE·2DE
∴2DE2=DM·DA·
【解析】【分析】(1)先根据已知得AF=BF，DE=EF，可证胆四边形ADBF为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得AD⊥BD，即∠ADB=90°，即可得出结论；
(2)①根据矩形的性质得AE=DE，∠DAF=90°，DF=2DE，进而得∠ADE=∠MAE=α，∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β，再根据三角形内角和定理可得∠DEM；
②由已知推出∠DEM=∠DAF，即可证明△DEM∽△DAF，得，变形即可得出结论.
25．
（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
【答案】（1）解：设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有 ，
由方程可得 ≤x＜ ．
因x为正整数，故x=15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组
（2）解：这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55=143＜150．
1+1+2+…+34+55+89=232＞150．故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，58）．
【解析】【分析】（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，根据三角形三边和为100建立方程，再由y不小于最小边，不大于最长边和三角形的两边之和大于第三边，列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据x是整数可得出满足条件的三角形的三边长。
（2）由n段之和为150，是一个定值，要使n尽可能大，必须每一段的长度尽可能小，由此可以依题意构造一个数列，即可解答。
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