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全等三角形 单元培优练习卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，直线，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．用直尺和圆规画一个角等于已知角，其运用全等的方法是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．如图，中，，平分，，，则的面积为（　　）
A．12 B．10 C．15 D．30
5．如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
6．如图，已知 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ .其中正确的有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．已知，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时，；
③若时，与垂直；
④若与全等，则或．
以上说法正确的选项为（　　）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，已知△ACE≌△DFB，下列结论中正确的个数是（　　）
①AC=DB；②AB=DC；③∠1=∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE=S△DFB；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC.若BC=10，CD=6，则点D到AC的距离为(　　).
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是　 　．
12．如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为　 　米．
13．在△ABC中，若AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　 　．
14．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=3，则两平行线AB、CD间的距离FH=　 　.
15．如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和．
（1）若，，则　 　；
（2）若，，请用一个等式表示的数量关系 　 　．
16．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是　 　.（填SAS或AAS或HL）
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数.
18．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
19．完成下面问题：
（1）问题发现：如图， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ，填空：① 的度数为　 　；②线段 ， 之间的数量关系为　 　；
（2）拓展探究：如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
20．已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）．
（1）用含t的代数式表示的度数．
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
21．如图，交延长线于，于，，．
（1）求证：平分；
（2）直接写出与之间的数量关系．
22．在学习完第12章后，刘老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长，”
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
23．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高．
24．如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC.
25．已知：∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD．（OC OA）
（1）如图1：连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由．
（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，
①如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由．
②当点B、D、C在同一条直线上时，若OB＝6，OC＝5，求AC的长．
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全等三角形 单元培优练习卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，直线，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，且平分，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据 及三角形内角和定理有，又由角平分线的定义得出，进而根据平行线的性质即可求解．
2．如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
3．用直尺和圆规画一个角等于已知角，其运用全等的方法是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；
以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD.
则∠COD就是所求的角.
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS.
故答案为：D.
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等.
4．如图，中，，平分，，，则的面积为（　　）
A．12 B．10 C．15 D．30
【答案】C
5．如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥ON于点F
由作图痕迹可知，OC为∠MON的平分线
∵CD⊥OM
∴CD=CF=2/5
∴CE的最小值为2.5
故答案为：A
【分析】过点C作CF⊥ON于点F，根据角平分线的性质即可求出答案.
6．如图，已知 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ .其中正确的有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵
∴ ，故①正确；
②∵
∴ 即： ，故②正确；
③∵
∴ ；
∴， 即 ，故③正确；
④∵
∴ ；
∴ ，故④正确；
⑤∵
∴ ，故⑤正确；
⑥根据已知条件不能证得 ，故⑥错误；
⑦∵
∴ ；
∴ ，故⑦正确；
故①②③④⑤⑦，正确的6个.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，可得，即得，据此判断①②；根据全等三角形的对应角相等，可得，，，根据等式的性质及平行线的判定，可得，，，据此判断③④⑦；由于全等三角形的面积相等，据此判断⑤.
7．已知，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时，；
③若时，与垂直；
④若与全等，则或．
以上说法正确的选项为（　　）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
8．如图，已知△ACE≌△DFB，下列结论中正确的个数是（　　）
①AC=DB；②AB=DC；③∠1=∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE=S△DFB；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC.若BC=10，CD=6，则点D到AC的距离为(　　).
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】【解答】解：∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝4.
∵∠B＝90°，AD平分∠BAC
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于 BD＝4.
故答案为：A.
【分析】由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD
的长即可.
10．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴， 如图，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于H，
又∵和的平分线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，故④正确，
综上，正确的有②③④.
故答案为：C．
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求得与∠C的关系，据此判定①；过O点作于P，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，用SAS证得，得到，结合平角定义推出∠AOH=∠AOF，由ASA证，得到，进而判定③正确；作于N，于H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ON=OH=OD=2a，根据三角形的面积可证得④正确．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是　 　．
【答案】AB=CD或BO=CO
【解析】【解答】解：∵AB ⊥ BO，CD ⊥ CO，
∴∠ABO=∠DCO =90°，
AB=CD或BO=CO，符合两直角三角形全等的判定定理HL；
故答案为：AB=CD或BO=CO.
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
12．如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为　 　米．
【答案】10
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
在和中，
，
，
米，
米，
故答案为：10.
【分析】由中点的定义可得BP、CP相等，再通过SAS判定和全等，然后由全等三角形的性质即可得到AB的长度.
13．在△ABC中，若AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　 　．
【答案】1＜AD＜6
【解析】【解答】解：如图，过作 交的延长线于
AD是BC边上的中线，
故答案为：1＜AD＜6
【分析】过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E，利用平行线的性质可证得∠C=∠EBD，利用三角形的中线可证得CD=BD，利用ASA可证△ADC≌△EDB，利用全等三角形的对应边相等，可证得AD=ED，AC=BE=7；然后利用三角形的三边关系定理可求出AD的取值范围.
14．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=3，则两平行线AB、CD间的距离FH=　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵平行线AB、CD间的距离FH
∴∠AFO=∠CHO=90°
又∵O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，
∴OE=OF，OE=OH
又∵OE=3，
∴FH=OF+OH=3+3=6
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠AFO=∠CHO=90°，然后根据角平分线的性质，得出OE=OF，OE=OH，即可得解.
15．如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和．
（1）若，，则　 　；
（2）若，，请用一个等式表示的数量关系 　 　．
【答案】45；
16．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是　 　.（填SAS或AAS或HL）
【答案】HL
【解析】【解答】解：由题意知OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP，
∴在Rt OMP和Rt ONP中，
，
∴Rt OMP≌Rt ONP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴OP是∠AOB的平分线.
故答案为：HL.
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt OMP和Rt ONP全等，进而得出答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数.
【答案】（1）证明：在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）
（2）解：∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=20°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=65°.
【解析】【分析】（1）可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△CBF ；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠ACB=45°，然后根据全等三角形的对应角相等得出 ∠BAE=∠BCF=20°，最后根据角的和差由∠ACF=∠ACB+∠BCF即可算出答案。
18．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
【答案】（1）解：结论：AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，
∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC
（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF．
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC．
又∵∠ABC=2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠E=∠ABE．
∴AB∥EF
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠E+∠F=90°
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADF=∠BCF， 再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）根据角平分线先求出 ∠ABE= ∠ABC，再求出∠E=∠ABE ，即可作答；
（3）先求出 ∠DAB+∠CBA=180°， 再求出 ∠EOF=∠AOB=90°， 即可证明。
19．完成下面问题：
（1）问题发现：如图， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ，填空：① 的度数为　 　；②线段 ， 之间的数量关系为　 　；
（2）拓展探究：如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解： ， ．
理由：∵ 和 均为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ．
∵点 ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【解答】（1）①∵ 和 均为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC= ， ， ，
∴ ，
∴ .
在 和 中，
∴ ，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC= ，
∴∠EAB+∠ABC+∠CBE= ，即∠EAB+∠ABE= ，
∴∠AEB= （∠EAB+∠ABE）= ，
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证：△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的的大小；（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题。
20．已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）．
（1）用含t的代数式表示的度数．
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：；
（2）解：如图，根据题意知：，，
当第二次达到时，，
即，解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴或，
解得：，或；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
【解析】【分析】（1）根据的度数=旋转速度×旋转时间解题；
（2）根据第二次达到时，在的左侧，利用解题即可；
（3）分为：①平分时，根据，列方程求解，②平分时，根据，列方程求解，③平分时，根据，三种情况列方程解答即可．
（1）解：由题意可得：；
（2）解：如图，根据题意知：，，
当第二次达到时，，
即，解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴或，
解得：，或；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
21．如图，交延长线于，于，，．
（1）求证：平分；
（2）直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）解：．理由如下：
由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠E=∠DFC=90°，利用HL证明△BED≌△CFD，得到DE=DF，据此证明；
（2）根据（1）可得DE=DF，利用HL证明△ADE≌△ADF，得到AE=AF，然后根据AB+AC=AE-BE+AF+CF进行解答.
22．在学习完第12章后，刘老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长，”
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
【答案】（1）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，
∴BE＝0 8cm；
（2）AD+BE＝DE
（3）解：（2）中的猜想还成立，
证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC，
∴BE＝CD，EC＝AD，
∴DE＝EC+CD＝AD+BE．
【解析】【解答】（2） AD+BE＝DE
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE
【分析】（1）证出△CEB≌△ADC，得出BE＝DC，CE＝AD＝2.5，从而得出DC=CE-DE=0.8，即可得出BE的长；
（2）先证出△CEB≌△ADC，得出BE＝DC，CE＝AD，从而得出DE＝CE+CD＝AD+BE，即可得出答案；
（3）先证出△CEB≌△ADC，得出BE＝DC，CE＝AD，从而得出DE＝CE+CD＝AD+BE，即可得出答案.
23．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高．
【答案】解：由题意得，，
∴，
∴
．
在和中，
，
，
．
，，
，
答：楼高是．
【解析】【分析】根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出DP=AB，根据 求解即可．
24．如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC.
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD
（2）证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°，
∴OA⊥OC
（3）证明：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC.
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E， 利用角平分线上的点到角两边的距离线段，易证OB=OE，再根据线段中点的定义，可知OB=OD，即可推出OE=OD，然后根据角平分线的逆定理，可证得结论。
（2）利用HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO，利用全等三角形的性质，可证得∠AOB=∠AOE，同理可证∠COD=∠COE，再证明∠AOC=90°，利用垂线的定义，可证得结论。
（3）利用（2）中的三角形全等，利用全等三角形的性质，可证得AB=AE，CD=CE，然后根据AC=AE+CE，可推出结论。
25．已知：∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD．（OC OA）
（1）如图1：连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由．
（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，
①如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由．
②当点B、D、C在同一条直线上时，若OB＝6，OC＝5，求AC的长．
【答案】（1）解：AC＝BD，AC⊥BD，
理由如下：
设AC与BO交于N，交BD于E，如图1，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
又∵∠BNE＝∠ANO，
∴∠DBO+∠BNE ＝∠CAO+∠ANO＝90°，
∴∠BEN＝∠AON＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）解：①BC2+AC2＝2OC2，
理由如下：
如图2，连接BD，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠AOC＝∠BOD，∠BAO＝∠ABO＝45°，CD OC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO＝45°，
∴∠CBD＝∠ABO+∠DBO= 90°，
∴在Rt△DBC中，由勾股定理得： BC2+BD2＝CD2，
∴BC2+AC2＝2OC2；
②如图3，当点C在BD上时，过点O作OH⊥CD于H，
∵OC＝OD＝5，∠COD＝90°，
∴CD＝5 ，
又∵OH⊥CD，
∴OH＝CH＝DH ，
∴BH ，
∴BD＝BH+DH ，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD ；
如图4，当点D在BC上时，过点O作OH⊥CD于H，
同理可求AC＝BD ；
综上所述：AC 或 ．
【解析】【分析】（1）利用SAS证明 △AOC≌△BOD ，再求出 ∠BEN＝∠AON＝90°， 最后求解即可；
（2）①根据题意求出 △AOC≌△BOD ，再求出 ∠CBD＝∠ABO+∠DBO= 90°， 最后证明求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用勾股定理和全等三角形的判定与性质求解即可。
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