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2026届高考数学一轮模拟测试卷二（全国甲卷）
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广东模拟）如图，在平行四边形中，（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江模拟）“且复数”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·阳西模拟）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（　　）
A．5 B．10 C． D．
5．（2025·阳西模拟）已知锐角，满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025·阳西模拟）小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（　　）
A．31 B．63 C．127 D．128
7．（2025·湘阴模拟）已知函数满足，，则（　　）
A．3 B． C．5 D．
8．（2025·四川模拟）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左 右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·广东模拟）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．是钝角 B．是第二象限角
C． D．点在第四象限
10．（2025·顺德模拟）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关．有人调查了10名男大学生的身高（单位：）及其父亲身高（单位：）的数据，已知其中一组数据为，且，求得经验回归方程为，并绘制了如下残差图（残差观测值预测值），则
A．这10名男大学生的身高的平均值为176.75
B．由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型
C．数据对应的残差为3.7
D．去掉数据后，重新求得的回归直线的决定系数变小
11．（2025·广东模拟）已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（　　）
A．函数的图像关于对称
B．
C．函数在上单调递增
D．若函数的最大值与最小值之和为2，则
三、填空题
12．（2025·安化模拟）二项式的二项展开式中的常数项是　 　．
13．（2025·张掖模拟）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是　 　．
14．（2025·湘阴模拟）已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为　 　．
四、解答题
15．（2025·广东模拟）在中，角，，所对的边分别为，已知．
（1）求角 的大小；
（2）若，求的面积．
16．（2025·浙江模拟）已知函数．
（1）当时，求函数的极值点个数；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2025·浙江模拟）如图，三棱柱中，，，平面平面，D为棱的中点，．
（1）证明：；
（2）求平面ABD与平面夹角的余弦值．
18．（2025·浙江模拟）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表：
循环寿命x（千次）
组数y 5 15 a b 5
已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
（1）求a，b的值；
（2）根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值．
（ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）；
（ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由．
参考数据：若随机变量，则，，．
19．（2025·梅河口模拟）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知.
（i）求数列的通项；
（ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,C
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】15
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】解：(1)因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以.
(2)由余弦定理可得，，
所以，即，解得或(舍)
所以.
16．【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
所以，
当时，，，
又，所以，所以在上单调递减，无极值；
当时，令，所以，
因为，，
所以，所以（即）在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的使，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
综上，当时，有1个极小值点，无极大值点．
（2）解：由题意可知，，
令，所以，
所以（即）在上单调递增，所以，
当时，，所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，，
又 ，
因为在上单调递增，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，所以，不合题意，
综上，实数a的取值范围为．
17．【答案】（1）证明：因为，，
由勾股定理可得，所以，
在中，由余弦定理可得，，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，，
得，所以△A1C1C是等腰三角形，
因为D为棱的中点，所以， 因为，所以CD⊥AC，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面ABC，所以，
因为，，，平面BCD，
所以平面BCD，平面BCD，所以，
因为，所以.
（2）解：取AC中点O，连接OB，，易知OB，OC，三条直线两两垂直，
如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则
设平面ABD的一个法向量为，
则，令，得，，所以，
设平面的的一个法向量为，
则，令，得，，所以，
所以．
所以平面ABD与平面夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：由题意可知，，
解得，．
（2）解：（ⅰ）由题意可知，，，所以 x近似服从正态分布，
所以
，
，
所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%．
（ⅱ）不合格．理由如下：
由题，，
所以，
又，，
故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格．
19．【答案】（1）解：依题意可知，
动圆的圆心到点与到直线的距离相等，
根据抛物线定义，
可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线，
所以曲线的方程为，
则直线经过抛物线的焦点，
设，
联立，
整理得恒成立，
则，
又因为可化为，
则，
所以，
联立的方程，消可得：
又因为，
所以，点的轨迹方程为.
（2）解：（i）设，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则直线的方程为，
整理得，
令，可得，①
同理可得，直线的方程为，
令，可得，②
又因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，
由①可知，，
①②可得，
则可得，
所以，
又因为，所以，
则，
所以，
则，
所以，
因为又，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则，
所以，
所以.
（ii）由（i）可知，，
则，
所以，
则，
两式作差可得：
，
所以，
令，
则，
当时，显然不合题意；
当时，随着的增大而增大，
又因为，
，
，
则满足不等式的的最小值为9.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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