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2026届高考数学一轮模拟测试卷三（全国甲卷）
一、选择题
1．（2025·广东模拟）复数（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江模拟）已知，，且，则（　　）
A．4 B．2 C． D．1
3．（2025·阳西模拟）若集合，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·阳西模拟）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
5．（2025·四川模拟）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·揭阳模拟）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2025·雅安模拟）已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·威海模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
二、多项选择题
9．（2025·浙江模拟）已知，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若恒成立，则的最小值为
10．（2025·浙江模拟）已知函数（其中，）的最大值为，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数的图象向左平移单位后关于原点对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递增
11．（2025·阳西模拟）已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当P为中点时，直线与所成角的余弦值为
B．当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2
C．的最小值为
D．的最大值为
三、填空题
12．（2025·浙江模拟）已知的展开式中含项的系数为16，则　 　.
13．（2025·张掖模拟）已知等比数列的前项积为，若，则　 　．
14．（2025·北京市模拟）已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是　 　．
四、解答题
15．（2025·上海市模拟）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足
（1）求角的值；
（2）若，求周长的最大值.
16．（2025·上海市模拟）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点.
（1）证明：平面；
（2）若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．（2025·天河模拟）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
人数 1 2 3 4 10
高二年级成绩频率分布直方图
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；
（2）用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望．
18．（2025·浙江模拟）若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列，其共有10组相邻三项，记第组相邻三项为.
（1）若数列满足，
①为“等差组”，为“等比组”，求；
②为“等比组”，为“等差组”，求.
（2）若数列满足，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数；
（3）若数列满足，且中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求的最大可能值.
19．（2025·浙江模拟）已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.
①求的最小值；
②设分别为椭圆的左 右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】2
13．【答案】1
14．【答案】①②③
15．【答案】（1）解：由正弦定理可得，即
由余弦定理可得，
因为所以

（2）解：由余弦定理可知， ，所以
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
所以三角形的周长的最大值为
16．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为点是劣弧的中点，，
所以.
因为，所以为等边三角形.
所以，所以，
因为平面，不在平面上，
所以平面.
（2）解：如图所示，过点作交于点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
所以、、、，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则x1=4，y1=0，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，
所以，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：由题意可知：高一年级成绩成绩不低于90分的概率为；
高二年级成绩不低于90分的概率为，
则从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：；
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
.
18．【答案】（1）①因为为“等差组”，故成等差数列，故，故，而为“等比组”，故成等比数列，故，故.
②若为“等比组”，为“等差组”，则成等比数列，故，
且成等差数列，故.
（2）因为为“等差组”或“等比组”，故有4种情形：若为“等差组”，为“等差组”，则；
若为“等差组”，为“等比组”，则，
而为正项数列，故即，
故，而，故，故，；
若为“等比组”，为“等比组”，则，；
若为“等比组”，为“等差组”，则，
故，而，故，.
从而开始的相邻三项，要么为“等比组”，要么为“等差组”，
对于确定的、，此后等比组的公比、等差组的公差均确定，
故此时有个满足条件的数列，
故满足条件的数列的个数为.
（3）先考虑一个一般命题：若，若正项数列中中一个“等差组”，另一个为“等比组”，则先“等比组”再“等差组”得到的较大.
证明：若先“等差组”，再“等比组”，则，
若先“等比组”，再“等差组”，则，其中，
此时
，
故先“等比组”再“等差组”得到的较大..
再考虑另一个一般命题：若，若正项数列中的为“等差组”或“等比组”，则当增大时，也增大.
证明：若均为“等差组”或“等比组”，
由等差数列的性质和等比数列的性质可得当增大时，也增大.
若先“等差组”，再“等比组”，则，
由得，
故由双勾函数的性质可得增大时，也增大；
若先“等比组”，再“等差组”，则，
而，故增大时，也增大，故命题成立.
对于数列满足，，
而中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，
要使得的最大，则前述两个命题可得需前5组为“等比组”，
后5组为“等差组”，此时个数分别为，
故的最大可能值为.
19．【答案】（1）由已知，解得，
所以，所以椭圆方程为；
（2）由已知，解得，
所以，所以椭圆方程为；
（2）
①因为切线交轴于点，所以，，
因为点在椭圆上，所以，即，
又，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为；
②由已知设直线：，，
由消元得，
则，，
所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
所以
，
即点，所以直线的方程为，
与直线联立，得，
因为，所以，代入上式可得
，
即，解得，
即点在直线上.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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