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2026届高考数学一轮模拟测试卷四（全国甲卷）
一、选择题
1．（2025·湘阴模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·张掖模拟）半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·张掖模拟）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
4．（2025·张掖模拟）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·北京市模拟）把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（　　）
A．
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
6．（2025·北京市模拟）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025·张掖模拟）在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江模拟）已知分别是双曲线的左 右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题
9．（2025·阳西模拟）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（　　）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
10．（2025·湘阴模拟）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（　　）
A．数列是单调数列 B．当时，
C．当时， D．数列的个数为
11．（2025·湘阴模拟）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（　　）
A．双曲线的焦距为4
B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2
C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则
D．为圆：上一点，的最大值为3
三、填空题
12．（2025·北京市模拟）在等腰梯形中，设，，，为的中点，则=　 　（用和表示），当　 　时，最小.
13．（2025·白云模拟）已知等差数列的前项和为．且．则　 　．
14．（2025·揭阳模拟）已知抛物线：的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线交于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足，且在上的投影数量为，则的取值范围为　 　．（平面内向量在向量方向上的投影数量为）
四、解答题
15．（2025·广东模拟）已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式 ；
（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.
16．（2025·浙江模拟）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求；
（2）若边上的高为，且的周长为6，求.
17．（2025·浙江模拟）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在上存在零点，求证：当时，.
18．（2025·湘阴模拟）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
（1）若，证明：．
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2025·阳西模拟）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值；
（3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】；
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】解：（1）因为，所以
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（2）由（1）知，①，
两边同乘得，②，
①-②得，，
所以，所以，
取，
当时，恒成立，则恒成立，
即数列从第二项开始是单调递减的，
又，所以数列的最大项为，
若恒成立，则.
16．【答案】（1）解：由正弦定理可得，
又，
∴，
即，
∵，∴，
，，
又，∴，
∴，；
（2）解：，，
由余弦定理可得，即，
又，
，
.
17．【答案】（1）解：由题意可得，，
所以，解得.
（2）解： 易知函数 的定义域为(0，+∞)，
所以，
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，所以恒成立，所以在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；
令，解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得.
在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，，所以，
令，则在时恒成立，
所以在上单调递减，所以，即在时恒成立，
所以在上单调递减，则，所以.
18．【答案】（1）解：在梯形中，过点作，垂足为，如图所示：
在中，，，
则，，
因为，，所以，，
梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，即平面平面，
又因为平面平面，平面，，
所以平面， 则，
以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，， ，，，，
因为，所以，所以，解得，
所以，，则；
（2） 解：易知，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，即，
因为平面，所以，则，即，解得，
即，，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为 .
19．【答案】（1）解：由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）解：设，由于，所以，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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