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2026届高三数学上学期一轮复习专题：01集合与常用逻辑（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·张掖模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·白云模拟）设全集．则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·四川模拟）已知，；，.下列结论正确的是（　　）
A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题
C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题
4．（2025·揭阳模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江模拟）已知全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广东模拟）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（　　）
A．0 B．0，
C．0， D．，0，
8．（2025·丰台模拟）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
9．（2025·德阳模拟）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．是的充要条件
D．若，则中至少有一个为0
10．（2025·广东模拟）已知函数的定义域为，其中为给定的常数，且不为常函数，则（　　）
A．
B．当时，为奇函数
C．或1是存在的充要条件
D．当时，没有最值
11．（2024高三上·长春模拟）已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（　　）
A．
B．当时，为递增数列
C．单调递增的充要条件为
D．当时，满足的的最小值为9
三、填空题
12．（2025·金川模拟）现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有　 　种.
13．（2017·虹口模拟）已知角A是△ABC的内角，则“ ”是“ 的　 　条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．
14．（2024高三下·湖南模拟）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题
15．（2025高二下·鄞州期中）若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为．
（1）已知A是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
16．（2025高一下·期中）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合.
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．（2025·嘉兴模拟）记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）.
（1）当时，求的所有可能的值；
（2）求的最小值；
（3）设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得.
18．（2025·四川模拟）已知定义在上的函数满足，且，有．若存在，使得函数是常函数，则称是“阶梯函数”．
（1）若是“阶梯函数”，且当时，，写出的取值范围；
（2）已知满足：①；②，有．
（i）证明：是“阶梯函数”的必要条件是“”；
（ii）若所有满足条件①②的函数均为“阶梯函数”，猜想的取值范围并证明．
19．（2024高二下·嵩明期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.
（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明；
（2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；
（3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】B,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】
13．【答案】充分不必要
14．【答案】
15．【答案】（1）解：将不等式可化为，
解得，则集合，
不等式可化为，
则集合，
是的充分不必要条件，是的真子集，
则，的取值范围是.
（2）解：因为命题为假命题，所以命题为真命题，
则为真命题，
令，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
16．【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
则是的两根，
由韦达定理可得，则，
所以不等式为的解集为：.
（2）解：因为是成立的必要不充分条件，则是的真子集，
当时，，即，符合题意；
当时，在上有一个或两个根，
由韦达定理可知方程两根同号，
则，所以，
解得，符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：若，由于，的对称性，只需考虑以下情况：
，，；
，，；，，；
，，；，，；
，，；，，；
，，，
则的所有可能值为：，，，，，；
（2）解：首先计算时：
令，，
观察可知，，且集合，均有项，且这首尾相加为，
所以，所以，即此时的最小值为0.
对于其它情况：
当时，由为奇数，
由（1）知为奇数，
考虑的子集，中有项，
那么参照上面证明存在，满足，现令，，
可知，即此时最小值为1；
当时，为奇数，为奇数.考虑的子集，中有项，
那么参照上面证明存在，满足，
现令，，可知，即此时最小值为1；
当时，为偶数，为偶数，
考虑的子集，中有项，
那么参照上面证明存在，满足，现令，，可知，
即此时最小值为0，
综上所述可知当或时，，
或时，；
（3）证明：首先证明与的奇偶性相同：由题意知，
，因为是偶数，所以对于任意的，，与的奇偶性相同，
下面用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足，
当或时，由（2）可知存在，满足，
假设时成立（为小于且与其奇偶性相同自然数），
即此时存在，满足，由于，不妨令，若此时，
则可令，），那么，
即说明时命题成立，
若此时，必存在正整数满足且（否则有，，
此时有），令，，
此时，满足：，即时命题立，由归纳法可知命题成立，
当时，令，，，综上所述命题成立.
18．【答案】（1）解：∵当时，，∴，
∵是阶梯函数，∴是常数，
由于，所以这个常数为，
∴，
当时，
当时，∵，都有，
∴，∴的取值范围是，
∴的取值范围是．
（2）（i）证明：由题意得或，
当时，即当时，
∵，∴，
根据已知条件得出，∴，
因为，∴，
当，同理可得，
所以为阶梯函数的必要条件是．
（ii）解：猜想下面证明这个结论．
当时，构造函数，，不是阶梯函数；
当时，构造函数，，不是阶梯函数；
当时，构造函数，，不是阶梯函数，
当时，，
若，
则，矛盾，
∴，
∴①，
下面用数学归纳法证明：
②，
由①知时，②成立，
假设时，②成立，
则，
∵，
∴，
，
∴当时，②成立，
同理当时，②成立，∴②成立，
假设，
则，
即，③，
又因为，
所以，所以，
即，所以，与③矛盾，∴假设不成立，
所以为阶梯函数，
则的取值范围是．
19．【答案】（1）恰含有两个元素且具有性质的集合；
证明：.
（2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有.
①，易知此时集合具有性质.
②数集只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得：，此时集合具有性质.
③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合具有性质，
所以有，这说明集合具有性质.
（3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质，
由于非空实数集具有性质，令集合，
依题意不妨设，
因为集合具有性质，所以，
若，则，
因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾，
故集合不是单元素集，
令，且，
①，可得，即，这与矛盾；
②，由于，所以，因此，这与矛盾
综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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