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2026届高三数学上学期一轮复习专题：02函数概念与性质（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·四川模拟）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（　　）
A． B． C．4 D．6
2．（2025·梅河口模拟）若随机变量，且，则的最小值为（　　）
A．18 B． C．24 D．27
3．（2025·桐乡市模拟）设直线与函数的图象的公共点从左至右依次为，若，则实数（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·四川模拟）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·义乌模拟）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（　　）
A．不存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，满足
D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形
6．（2025·温州模拟）已知函数的定义域为，，，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·广州模拟）已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江模拟）下列可以作为方程的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2025·江苏模拟）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2025·温州模拟）已知函数，则存在实数，使得（　　）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的最大值为0
11．（2025·白银模拟）已知函数的定义域为，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
三、填空题
12．（2025·北京市模拟）函数的定义域为　 　．
13．（2025·湖南模拟）已知是偶函数，则的最大值为　 　.
14．（2025·上虞模拟）已知定义在R上的函数满足且，则　 　．
四、解答题
15．（2025·青神模拟）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值．
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．
（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围．
16．（2025·仁寿模拟）已知函数，其中.
（1）证明：当时，；
（2）若时，有极小值，求实数的取值范围；
（3）对任意的恒成立，求实数的取值范围.
17．（2025·江苏模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调减区间；
（2）若，，证明：；
（3）若，恒有，求实数的取值范围．
18．（2025·长沙模拟）已知函数，．
（1）若，试判断函数的单调性；
（2）若函数有三个不同的零点，，（）．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若存在正整数M，使得恒成立，求M的最大值．
19．（2025·海淀模拟）已知函数．
（1）若，求及的单调递增区间；
（2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期．
条件①：；
条件②：是的一个极值点；
条件③：是的一个零点．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,C
12．【答案】；
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，解得，
又∵，即，解得．
∴，
∵，
∴当，时，f(x)为奇函数．
（2）解： 函数为减函数
∵，
任取，且，
∴，
∵函数在R上是增函数，∴，∴．
又，
∴，即，
∴为减涵数．
（3）解：∵，∴，
∵为减函数，∴．
∴，
设，
令，∴，
∴，
∴，
故k的取值范围为．
16．【答案】（1）证明：函数定义域为，，
易知对任意恒成立，
则函数在内单调递减，即，故当时，；
（2）解：函数，，，
令，对任意恒成立，
则函数在内单调递增，且，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意，
综上所述：实数的取值范围为；
（3）解：令函数，
，
原题意等价于对任意恒成立，且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：令，得函数定义域为
当时，，
则
令，得，
所以单调减区间为和.
（2）证明：因为，
当时，是增函数，
因此，，
又因为，
所以，在上单调递减，
则，
因为，
所以，
所以.
（3）解：因为，，
当时，，在上是减函数，
当时，，
因此不可能恒成立，
当时，由，得，
记，则，
则有两个实根，一根小于1，一根大于1，
则大于1的根为，易知它是关于的减函数，
注意到在上是增函数，
且，
即当时，，
当时，，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，此时，
记，
则在上单调递减，在上单调递增，且
因此，当时，，
当时，，，
综上所述，当时，恒成立，
所以的取值范围是．
18．【答案】（1）解：易知函数的定义域为，，
当时，，即函数在上单调递增；
当时，令，，易知单调递增，
令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，
且，即，故函数在上单调递增；
（2）解：（ⅰ）易得，故1是的零点之一，
当时，由（1）知，最多一个零点，不符条件；
当时，，为单调增函数，
又因为，时，，
所以，使得，且时，单调递减，
时，单调递增，所以最多2个零点，不符条件；
当时，由（1）易知，时，单调递减，时，单调递增，
则，
又因为，，
，
所以，，使得，，
所以在，单调递增，单调递减，由，得，，
而时，；时，，
所以有三个零点，且，
综上，；
（ⅱ）因为，是的零点，且，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
令，（），（），
（），
，，
则函数在单调递增，在单调递减，且，，
即，，∴，
令（），（），
又在单调递增，
且，，
则，使，，
即在单调递减，在单调递增，
，
所以，
又因为，所以，所以，
综上，，故整数M的最大值为2．
19．【答案】（1）解：因为
，
当时，，
则，
令，
解得，
所以的单调递增区间为.
（2）解：因为，
在区间上单调递增，且，
所以，
解得.
若选①：，又在区间上单调递增，
所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上，
则，
所以，
解得，
又因为，
所以，
则，
所以的最小正周期为；
若选②：因为是的一个极值点，
又因为在区间上单调递增，
所以在处取得最大值，
则，
所以，
解得，
又因为，
所以，
则，
所以的最小正周期为；
若选③：因为是的一个零点，
所以，
所以，
解得，
又因为，
所以或，
当时，，
所以的最小正周期为；
当时，，
所以的最小正周期为.
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