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2026届高三数学上学期一轮复习专题：03指对幂函数（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·桐乡市模拟）若实数满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·梅河口模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·上虞模拟）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） （　　）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
5．（2025·上虞模拟）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏模拟）已知，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·开福模拟）已知，且，则函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江模拟）已知函数的定义域为，为的导函数，满足，且.已知均为正数，若，则的最小值（　　）
A． B． C．1 D．
二、多项选择题
9．（2024高三上·贵州模拟）已知幂函数，则（　　）
A．
B．的定义域为
C．为非奇非偶函数
D．不等式的解集为
10．（2025·茂名模拟）已知函数，则（　　）
A．当时，是增函数
B．当时，的值域为
C．当时，曲线关于点对称
D．当时，，则
11．（2024高三上·雷州模拟）已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（　　）
A．
B．的值域为
C．在区间上单调递减
D．
三、填空题
12．（2025·宜宾模拟）已知函数且.若，则　 　.
13．（2025·宝山模拟）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为　 　
14．（2025·湖南模拟）若函数，，若，为偶函数，则　 　.若为奇函数，则　 　.
四、解答题
15．（2024高三上·德阳模拟）已知函数的定义域为，
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求实数的取值范围．
16．（2024高三上·奉贤模拟）已知函数，其中（常数且）．
（1）若函数的图象过点，求关于的不等式的解集；
（2）若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围.
17．（2024高三上·四川模拟）某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份 1月 2月 3月
小型汽车数量（辆） 30 60 80
创造的收益（元） 4800 6000 4800
（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；
（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？
18．（2024高三上·长春模拟）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
19．（2024·云南模拟）已知是自然对数的底数，常数，函数.
（1）求、的单调区间；
（2）讨论直线与曲线的公共点的个数；
（3）记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】，；，
15．【答案】（1）解：当时，由，解得，
令，
当时，取最大值为，
所以，则函数的值域为.
（2）解：因为，且，
所以方程的两根分别为，且，，
又因为，即，
将，代入整理得
则，所以，
即实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：若函数的图象过点，则，
解得或（舍去），所以，
由，得，解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）解：因为，
若存在，使得数列是等比数列，
则，可得，
由可得，
令，，
当时，，所以，
可得在上单调递减，
所以，则实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：选取②，
由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，
又因为函数及均为单调函数，故不符合题意，
所以选取②，
将，，三点分别代入函数解析式，
可得二次函数对称轴为，
故可将函数解析式设为，
即得到，解出，
∴，
∴，，.
（2）解：设在一周内大约应生产辆小型汽车，
根据题意，可得，
即，
即，
因为，
所以方程有两个实数根，，
由二次函数的图象可知不等式的解为.
因为只能取整数值，
所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时，
这家工厂能够获得6020元以上的收益.
18．【答案】（1）解：依题意，得出，
由，得，则，
当时，即当时，；
当时，即当时，，
所以函数在时的值域为.
（2）解：不等式
当时，；
当时，，则恒成立，
又因为在上递减，
所以在上的值域为，则；
当时，，则恒成立，
又因为在上递减，
所以在上的值域为，则，
所以实数的取值范围为.
（3）解：当时，
在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，
即的两个不相等的正根，
则，
解得，
所以正数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为.
，
，
当时，，当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
函数的定义域为，常数，
当时，，当时，.
的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）解：设，它的定义域为，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
的最小值为，
不成立，即方程无实数解，
故方程无实数解，直线与曲线无公共点；
（3）解：根据已知，的定义域为，
设，由（2）得，且，
由，记，则，
由得，
由（1）知在上单调递减，故，
，
记，则，由，得，
，若，且，则，
，
，
设，则，
解得，
由得，由得，
，
设，则，
，
由是自然对数的底数，得，
由（1）知，上单调递减，
在上单调递增；由得，
又，
存在唯一，使，
当时，，当时，，当时，，
当时，单调递增，故；
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故.
综上所述，当时，，
.
实数的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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