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2026届高三数学上学期一轮复习专题：05函数的应用（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·天津）函数的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南模拟）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·安化模拟）函数在内的零点之和为（　　）
A． B． C． D．0
4．（2025·浙江模拟）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·浙江模拟）若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025高二下·潮阳月考）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（　　）（参考数据：，）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
7．（2025·浙江模拟）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025·长沙模拟）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（　　）
A．2是的极大值点
B．函数无零点
C．a的取值范围是
D．，，使
二、多项选择题
9．（2025高一下·泸县期末）已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　）
A．的值域为 B．的最小正周期为4
C．在上有3个零点 D．
10．（2025·天河模拟）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高三下·三台月考）设函数，已知在有且仅有3个零点，则（　　）
A．在有且仅有2个极大值点
B．在有且仅有1个极小值点
C．在单调递增
D．若在单调递减，则的最小值为2
三、填空题
12．（2025高二下·长沙期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是　 　.
13．（2025·丰台模拟）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为　 　；若在区间上有零点，则的最小值为　 　．
14．（2025·仁寿模拟）已知，函数
（1）若在上单调递增，则的取值范围为　 　；
（2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为　 　.
四、解答题
15．（2025·安化模拟）已知函数，其中．
（1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值；
（2）若是的极小值点，试比较与的大小．
16．（2025·张掖模拟）已知.
（1）证明：是奇函数；
（2）若，证明在上有一个零点，且.
17．（2025·四川模拟）已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求的零点个数；
（3）证明：.
18．（2025·天河模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知关于x的方程有两个解
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围．
19．（2025·桐乡市模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，存在，使得，求证：；
（3）当时，判断的零点个数，并作出证明．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】（答案不唯一）；4
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：函数，求导得，则，
因此在点处的切线为，
令，则；令，则，
切线与两坐标轴所围成三角形的面积，所以.
（2）解：由（1）知，，，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，则，函数在上单调递增，无极值；
当时，，而，，
令，求导得，函数在上单调递增，
，因此，存在，使得，
当或时，，即；当时，，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，即，
所以.
16．【答案】（1）证明：因为的定义域为，
所以，
由奇函数的定义知是奇函数.
（2）证明：由函数的图象的对称性，不妨取，
则，
因为，
下证，
设，，，，
则
（当且仅当，，即时取等号），
又因为的定义域为，
所以.
由函数图象的对称性，不妨取，
则，
所以在上单调递增，
当时，；
当时，，
由零点存在定理知在上有一个零点，
所以.
17．【答案】（1）解：由，
得，
则，
所以，函数的图象在点处的切线方程为.
（2）解：解法一：由，得，
令，
则，
令，
显然在上单调递增，且，
故，
当时，，则，即在上单调递减；
当时，，则，即在上单调递增
因为，
所以，，从而的零点个数为2，
即的零点个数为2.
解法二：由，得，，
令，，
则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
显然函数在上单调递减，
因为，
所以，
又因为，
所以，，
则的零点个数为2.
（3）证明：要证，需证，
令，
则，
令，
则
则在上单调递增，
因为，
所以当时，，则，则在上单调递减；
当时，，则，则在上单调递增
所以，，
则.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，令，解得得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：（ⅰ）由，可得，即方程有两个解，
设，，且在上有两个零点，
当时，，函数在上单调递增，
则在上最多只有一个零点，不合题意；
当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值，
要使在上有两个零点，需使，即，解得，
当时，因，又，则，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，
故在上单调递增，则，即，
故在上单调递增，则，
因，所以，即，即，即，
故，
又在上单调递减，故在上有唯一零点，
综上，当时，在上有两个零点，
即方程有两个解，故a的取值范围为；
（ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故，
因，则，即，也即，
故有，设，则，于是可得，
即，
设，则，
因时，，
①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数，
即，即在上恒成立；
②当时，，而，
当时，，
故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾，
综上，可得，即.
19．【答案】（1）解：当时，，定义域为，
所以，所以.
而，所以曲线在处的切线方程为，即.

（2）证明：当时，，.
因为存在，使得.
所以，
所以，，所以，.
将代入得：，
所以，所以，
令，，
令，所以，
令，解得01；
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
因为，所以，
所以.
（3）解：因为，所以.
所以.
令，解得，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减；
所以函数在处取极小值为.
令，，对求导：.
在上恒成立，在上单调递增，.
当时，；当时，.
所以有两个零点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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