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2026届高三数学上学期一轮复习专题：06数列（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·临沂模拟）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2025·白银模拟）在数列中，，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江模拟）记数列的前项和为，若，，则等于（　　）
A．33 B．46 C．49 D．42
4．（2025·杭州模拟）若等比数列满足，，则数列的公比等于（　　）
A．或 B．或 C． D．
5．（2025·台州模拟）已知等差数列的公差，，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·永州模拟）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
7．（2025·湖州模拟）在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南模拟）数列满足，为其前项和，若对任意正整数，，若时，恒有成立，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·建湖模拟）已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2025·仁寿模拟）已知数列满足，，给出下列结论正确的是（　　）
A．存在，使得为常数列
B．对任意的，为递增数列
C．对任意的，既不是等差数列也不是等比数列
D．对于任意的，都有
11．（2025·岳阳模拟）已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（　　）
A．若，则为“回归数列”
B．若为等比数列，则为“回归数列”
C．设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则
D．对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得
三、填空题
12．（2025·上海市模拟）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为　 　.
13．（2025·桐乡市模拟）记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则　 　.
14．（2025·台州模拟）已知集合，含两个元素的集合．
（1）若，则满足条件的集合A的个数为　 　；
（2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为　 　．（结果均要化简）
四、解答题
15．（2025·揭阳模拟）记为数列的前项和，已知，.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）证明：.
16．（2025·湖南模拟）已知数列满足，数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）求的通项公式；
（3）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
17．（2025·四川模拟）已知在各项为正的等比数列中，，是与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和．
18．（2025·淄博模拟）记为数列的前项和，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
19．（2025·湖南模拟）已知是等差数列，且，，数列是等比数列，其前n项和为，且满足，其中.
（1）当时，求数列与数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设数列的前n项和为，已知，证明：；
（3）当时，若数列满足（），且，若对任意正整数i，j（），恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,B
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）令可得，故；
令可得，故.
（2）由题设有，故，
化简得，
即，由知，故，
累乘可得，
即，故.
而符合该式，故.
（3）由（2）可得.
当时，，；
当时，，.
综上：.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
所以的通项公式的通项公式为.
（2）解：方法一：由已知得，所以，
所以，又，
所以
即，所以
当n=1时，b1=1符合上式，
所以.
方法二：因为，所以
所以是常数列，
所以，
所以.

（3）解：设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以.
17．【答案】（1）设各项为正的等比数列的公比为，
由，所以，
因为是与的等差中项，
所以，化简得，
解得（舍去），
所以数列的通项公式为；

（2）由（1）可得，，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
18．【答案】（1）解：因为，
所以，当时，，
所以；
当时，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当为奇数时，，
所以，，
作差可得，，
所以，
当为偶数时，，
所以，，
作差可得，，
所以.
所以，，.
（2）解：由（1）得，，，
所以，令，
所以
，
所以，
下面证明，
因为，
所以
下面证明，
因为，
所以，
所以，
所以.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，，
则；
当时，①，
当时，②，
①-②得：，即，
当时，，又，所以，解得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，即；
（2）证明由（1）可得：，
则
，
因为，所以，则，
又因为
，
所以单调递增，，
综上，；
（3）解： 当时，③，
当时，④，
③-④得：，即，
当时，，又，所以，解得，
所以，
因为，
当时，
，
当时，也满足上式，
当为奇数时，单调递减，；
当为偶数时，单调递增，，
因为对任意正整数，恒成立，所以，即，
又，解得，
则实数的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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