资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026届高三数学上学期一轮复习专题：07导数及其应用（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·桐乡市模拟）已知函数的极小值是，则实数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·威海模拟）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南模拟）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·上虞模拟）已知函数，当且仅当有，则（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（2025·朝阳模拟）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2025·湖南模拟）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湛江模拟）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·建湖模拟）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B．
C． D．1
二、多项选择题
9．（2025·威海模拟）已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数分别是的导函数，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·临沂模拟）设函数，则（　　）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
11．（2025·靖远模拟）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（　　）
A．
B．的最小值为2
C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部
D．当点的坐标为时，随着的增大而增大
三、填空题
12．（2025·四川模拟）函数的极小值是　 　.
13．（2025·浙江模拟）已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为　 　．
14．（2025·朝阳模拟）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是　 　．
四、解答题
15．（2025·广东模拟）已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切.
（1）求实数的值；
（2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：.
16．（2025·白云模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
（3）若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围.
17．（2025·浙江模拟）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数无极值点，求实数的取值范围；
（3）若为函数的极小值点，证明：.
18．（2025·威海模拟）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围；
（3）设为非负实数，为正实数，若，证明：．
19．（2025·湖南模拟）已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】①③
15．【答案】（1）解：由题意可得，，所以，
又，所以在处的切线方程为，
因为切线与相切，联立得，
因为，解得或a=-3(舍).
所以实数a的值为1.
（2）证明：由（1）得，所以，
当时，，所以在上单调递增，即时，函数无极大值点.
当时，令，
所以，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又
所以当时，，即，
所以是的最大的极小值点，且.
所以，，
所以存在，使得，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
所以.
16．【答案】（1）解：当时，，
所以，所以，
而，
所以 曲线在处的切线方程为，即.

（2）解：解：因为，解得x>-1，
所以的定义域为，
因为，(x>-1)
所以当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，即，可得；
令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由（2）可知当时，函数无极值，
当时，函数在处取得极大值，
极大值为，
所以，即，
令，所以，
因为，所以，所以在上单调递增，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
17．【答案】（1）解：，，
又，在点处的切线方程为：.
（2）解：由题意知：的定义域为，
若函数无极值点，在上单调，
或在上恒成立；
，在上恒成立，
，，解得：；
下面证明充分性：
当时，，又，，
，
令，
当时，，
在上单调递增，又，为定义在上的偶函数，
在上单调递减，，，
在上单调递增，无极值点，充分性成立；
综上所述：.
（3）证明：由（2）可得：当时，函数无极值点.
当时，令，则，
当时，，又，为定义在上的奇函数，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减；
函数存在唯一的极小值点，且满足.
下证：.
令，则，
令，则，
在上单调递增，即，
在单调递增，，即
又，，
又，，
即，，
即，，又，.
18．【答案】（1）解：当时，，
当时，，所以在上单调递增，所以无极值；
当时，令，解得，
所以在上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
所以的极大值为，
综上可知，当时，无极值；
当时，的极大值为，无极小值．
（2）解：设切点为，
因为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
因为曲线有三条过点的切线，
所以关于的方程有3个解，
令，则有3个零点，
因为，
令，解得，
所以在上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
所以，
可得，
所以.
（3）证明：不妨设，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边=右边；
当时，
因为s，t为正实数，，
所以，
要证，
即证，
即证，
即证，
令，则
所以，
因为，
所以，
所以在上单调递减，
则当时，，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
则，
综上可知，.
19．【答案】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，
所以函数在处的切线方程为：，即.
（2）解：（i）当时，，定义域为，
，
令，
所以，所以在上单调递增，
又因为，
所以使得，即，①
所以当时，，即，此时在上单调递减；
当时，，即，此时在上单调递增，
所以当时，函数有最小值，
由①可得，即，
所以函数的最小值为.
（ii）由题意可知，，定义域为，
因为有两个不相等的实数根，
令，因为，所以在上递增，所以，
令，
所以有两个不相等的正的零点，且，
即，两式分别相加减得，
.
所以②
要证，只需证，
即证，即需证，
由②知，，
故只需证，
不妨设，令，
则只需证，即，
故只需证，
令
则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立.
所以，即，故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑