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2026届高三数学上学期一轮复习专题：09立体几何初步（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·长沙模拟）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·会宁模拟）已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·温州模拟）一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（　　）（加工过程中不计损耗）
A． B． C．1 D．
4．（2025·江苏模拟）已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·白银模拟）如图，在四面体中，分别为的中点，且，则该四面体体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
7．（2025·建湖模拟）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南模拟）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2025·四川模拟）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（　　）
A．
B．三棱锥的体积为
C．直线与所成角的余弦值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
10．（2025·浙江模拟）设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（　　）
A．三棱锥的体积有最大值
B．三棱锥的外接球的体积为定值
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球的体积有最大值
11．（2025·金川模拟）如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（　　）
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
三、填空题
12．（2025·天河模拟）已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为　 　．
13．（2025·梅河口模拟）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　.
14．（2025·海淀模拟）如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论：
①当与重合时，五面体的体积为；
②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变；
③存在、，使得；
④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为　 　．
四、解答题
15．（2025·上虞模拟）已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
（1）求证：面面；
（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
16．（2025·天河模拟）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且．
（1）求证：；
（2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2025·四川模拟）如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，分别为的中点，是棱上的动点（包含端点）．
（1）请说明当点在何处时，四点在同一平面内；
（2）当点满足时，求三棱锥的体积；
（3）设二面角的大小为，求的最大值．
18．（2025·长沙模拟）三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．
（1）求PB与平面PCE所成角的正弦值；
（2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．
19．（2025·温州模拟）如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点．
（1）求证：；
（2）若，则
（i）当时，求线段的长度；
（ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】①②④
15．【答案】（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.

16．【答案】（1）证明：取的中点为，连接，如图所示：
易知，因为，为平面内两条相交直线，所以平面，
又因为在平面内，所以，
又因为的中点为，所以；
（2）解：过作，垂足为，由（1）平面，在平面内，
所以，为平面内两条相交直线，所以平面，即为棱柱的高，
又因为，三棱柱的体积为，
所以，又因为，所以，
又因为底面是边长为4的等边三角形，所以，
过作的平行线作为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则，
由，可得，即，
，
设平面的法向量为，则，
设，得，即，
设直线与平面所成角为，则.
17．【答案】（1）方法一：如图，取的中点，连接，
由已知，，，所以，，
易知，当点位于点的位置时，，
此时四点在同一平面内，
平面，
若四点在同一平面内，
则，当点不在点的位置时，
与不平行，从而与不平行，
因此四点不在同一平面内，
所以，当且仅当点位于点的位置时，四点在同一平面内；
（2）由（1），，
设平面的法向量为，
则
不妨设，可得，，
所以为平面的一个法向量，
由已知，当时，可得，则，
所以点到平面的距离为，
在中，，
所以，，；
（3）方法一：由（1）可知，四点在同一平面内，
则二面角的平面角与二面角的平面角互补，
所以，
设点到平面的距离为，点到直线的距离为，
则，
在矩形中，，又因为，
则，又因为，
所以，是异面直线与的公垂线，
故当点运动至点时，点到直线的距离最小，且，
此时点到平面的距离最大，
即等于点到平面的距离，
所以，的最大值为，
在中，，
边上的高为，
由，得，
即，
所以，，解得，
所以，的最大值为；
方法二：由（2）可知平面的一个法向量为，
设，则，
设平面的法向量为，则
不妨设，可得，，
所以为平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以，
所以，当且仅当，即时，取得最小值，
此时，取得最大值．
18．【答案】（1）解：连接，因为在底面上的射影是线段靠近点的四等分点，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，易知，
又因为平面PEC，所以平面平面，且交线为，
过作于点，连接，
因为平面，所以平面，则为与平面所成角，
在中，，，，
由余弦定理得，所以，
又因为，所以，
在中，因为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为；
（2）解：假设存在点D满足要求，则二面角为直二面角，
即二面角和二面角和为，
取AB中点O，连接CO，过O作于点N，连接CN，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
所以为二面角的平面角，
在中，因为，可得，
过D作DH垂直AB于点H，过H作HQ垂直PB于点Q，连接DQ，
同理可得为二面角的平面角，所以，
在平面中，以O为原点，OB为x轴正方向，CO为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
根据题意，点D点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，其标准方程为，
设D点横坐标为，则，，，
所以，解得，假设成立，故．
19．【答案】（1）证明：由题意可知：平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，，
所以平面，
所以平面与平面共面，所以可知在上，
因为为直三棱柱，所以平面，
又在平面内，所以没有交点，
又都在平面内，
所以．
（2）解：（i）因为，
所以，
又，可得，所以
又因为，所以，可得．
（ii）如图所示，以C为原点，直线CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令y=1，则所以
因为BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1=C，AC，CC1平面，
所以BC⊥平面，所以平面的法向量可取，
所以，
因为，所以，
整理得，
即，
因为，
代入可得，即，
解得，即，
解得：，
因为，所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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