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2026届高三数学上学期一轮复习专题：10空间向量与立体几何（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2024高三上·静安模拟）在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2024高三上·长宁模拟）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若则
C．若，则 D．若，则
3．（2024高三上·奉贤模拟）在四棱锥中，若，则实数组可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·长春模拟）正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·雷州模拟）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高三上·浙江模拟）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2024高三下·潮阳模拟）已知平行六面体中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·南充模拟） 如图，在直三棱柱中，，E、F、G、H分别为的中点，则下列说法中错误的是（　　）
A．E、F、G、H四点共面
B．三线共点
C．设，则平面截该三棱柱所得截面周长为
D．与平面所成角为
二、多项选择题
9．（2025·济宁模拟）已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（　　）
A． B．点的轨迹长度为
C．线段长度的最小值为 D．的最小值为
10．（2025·宁波模拟）如图，在平行六面体中，，，，，，为中点，在线段上（包含端点），则下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得平面平面
C．不存在点，使得
D．不存在点，使得四棱锥有内切球
11．（2025·常德模拟）如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为
三、填空题
12．（2025·湖南模拟）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为　 　.
13．（2024·温州模拟）如图，在等腰梯形中，，点E是的中点.现将 △ABE 沿BE翻折到△A'BE，将△DCE沿CE翻折到△D'CE，使得二面角A'-BE-C等于60°，D'-CE-B等于90°，则直线A'B与平面D'CE所成角的余弦值等 于　 　.
14．（2024·东阳模拟）四棱锥的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，l⊥OB，则直线l与平面PAC所成夹角的范围为　 　．
四、解答题
15．（2025·义乌模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，，，，点为的重心.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求二面角的平面角的正切值.
16．（2025·朝阳模拟）如图，在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为4的菱形，．
（1）求证：侧面为矩形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2025·江苏模拟）如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面．
（1）求三棱锥的体积；
（2）平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值．
18．（2025·湖南模拟）在如图所示的多面体中，已知四边形为菱形，其对角线和相交于H点，G是棱的中点，，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
19．（2025·浙江模拟）如图，在三棱锥中，，为的中点，在底面的投影落在线段AD上.
（1）证明：；
（2）若，，，，在线段上，且满足平面平面，求直线与直线夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：连接，并延长与交于点，
则点为的中点，连接，
为的重心，
，
因此，
则，从而，
又因为平面，平面，
平面.
（2）解：方法一：延长交与点，连接，
则点为的中点，
是正三角形，
，
在平面中，过点作，
平面平面，平面平面，
平面，，
平面，
又因为平面，
所以，
又因为，AC，平面；
平面，
又因为平面，
平面平面，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，
则，，
由平面平面可知，，，
所以，
则，，
设平面的法向量为，
则，，
令，则，
又因为平面ABD的一个法向量为，
所以，
设二面角为，
则，
所以，，
所以二面角的平面角的正切值为.
方法二：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
设，
则
，，
设平面的法向量为，
则，
取，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，
平面平面，
则，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则，，
令，则，
又因为平面ABD的一个法向量为，
所以，
设二面角为，
则，
所以，，
所以二面角的平面角的正切值为.
16．【答案】（1）证明：连接，
因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，则，
又因为，
所以，
设中点为D，连接，
则，
又因为，
所以，
又因为底面侧面，底面侧面，
侧面，
所以底面，
又因为平面．
所以．
又因为，
平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
又因为侧面为平行四边形，
所以侧面为矩形．
（2）解：由（1）可知平面，
所以，
所以两两垂直，
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）解：平面平面，
且平面平面平面，
平面，
平面，，
又因为平面，
平面，
连接，平面平面，
平面平面，
，
，，
，
三棱锥底面三角形的面积为：
，
高，
三棱锥的体积为：．
（2）解：由题意和（1）得，
以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
则．
设平面的法向量为，
由，
取，则，
又因为平面的一个法向量为，
所以．
又因为，
所以．
，
又因为，
所以．
18．【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相平分，所以为的中点，
又因为为线段的中点，所以，且，
又因为且，所以且，
则四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：在菱形中，因为，且菱形的邻边相等，所以和都是正三角形，
取的中点为，连接，根据正三角形三线合一的性质，可得，又因为，所以，
又因为平面，平面，所以，，
即两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，则，，，
因为，，，所以平面的法向量可取为，
又，，
设平面的法向量为，则由，
取，则，，即，
设平面与平面所成角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：因为，D为的中点故，
又平面，平面，故得，平面，
所以平面，平面，
所以.
（2）解：以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，.
于是，，
令，所以，又因为，
设面的法向量为.
所以，所以.
又，，
所以.
设面的法向量为.
所以，所以
根据平面，即，所以.
所以，，，
，
所以，得所成角为90度，正弦值为1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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