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2026届高三数学上学期一轮复习专题：11椭圆（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·广州模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·绵阳模拟）已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·庆阳模拟）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（　　）．
A． B．
C． D．
4．（2025·邵阳模拟）已知向量满足，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南宁模拟）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·四川模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，、分别是、的中点，为坐标原点，若，且四边形的面积为，的短轴长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广东模拟）设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·四川模拟）已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（　　）
A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离，那么必然有
B．到直线的距离不是定值
C．和没有交点
D．三角形面积的取值范围是
二、多项选择题
9．（2025·湖南模拟）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（　　）
A．椭圆C的方程为
B．的周长为4
C．定点P的坐标为
D．当轴时，的内切圆圆心坐标为
10．（2025·宜宾模拟）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．点的轨迹方程为 D．的最小值为
11．（2025·四川模拟）动圆过定点，且与圆相内切于点，记圆心的轨迹为曲线．则（　　）
A．曲线的方程为：
B．动圆面积的最小值为
C．的最大值为3
D．的最小值是
三、填空题
12．（2025·湖南模拟）椭圆的离心率为　 　.
13．（2025·金川模拟）已知是椭圆上的动点，，且，则　 　.
14．（2025·温州模拟）在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是　 　．
四、解答题
15．（2025·安化模拟）已知椭圆C：（）的左顶点为A，离心率为，且过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心．
①若为等边三角形，求PA的长；
②若点P在直线上，求点A到直线l距离的最大值．
16．（2025·会宁模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若分别为椭圆的上 下顶点，直线与椭圆相交于两点，且．
①证明：直线过定点．
②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
17．（2025·成华模拟）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
（1）求的方程；
（2）过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率．
18．（2025·会宁模拟）已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为．
（1）求椭圆E的标准方程．
（2）过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程；
（ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．
19．（2025·湛江模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且．
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D．
（i）求面积的最大值；
（ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】5
14．【答案】12
15．【答案】（1）解：根据题意，可得，且，且，
解得，，，所以所求椭圆C的方程为．
（2）解：如图所示
①易知．根据椭圆的对称性，可知点P在x轴上．不妨设，，则，联立方程，解得，．
由等边三角形的重心与外心重合，可知，则点P的坐标为．
②当直线l的斜率为0时，线段MN的中垂线为y轴，不合题意．
当直线l的斜率不为0时，设直线l：（），联立椭圆方程可得．由，即，解得；且，．
令E，F分别为线段AM，AN的中点，则，，
可得线段AM的中垂线方程为，即①；
同理可得线段AN的中垂线方程为②．
联立①②，解得．
由，可得，即，代入不等式，解得且，则．
点A到直线l的距离．
设函数，，则在[1，15）单调递减，
在（15，33）单调递增，可得，进而得到．
综上可知，点A到直线l距离的最大值为．
16．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，则，即，所以，
因为椭圆过点，所以，解得，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
联立，消元整理得，
设，由韦达定理可得：，
易知，因为，所以，即，
所以，
即，
化简得，
所以，
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
则面积的最大值为．
17．【答案】（1）解：由题意，设椭圆的方程为且，
因为椭圆过点，所以，解得，
则的方程为；
（2）解：设直线，
联立，消去整理得，
则，即，由韦达定理可得：，
直线，直线，
令，则，
令，则，
由，得，即，
整理得，
因为，所以，解得，
则直线的斜率为．
18．【答案】（1）解：由题意可知N，
因为|NM|=，所以，解得(负值已舍去)
又，所以，所以，
所以椭圆E的标准方程为．

（2）解：（i）由(1)可知N，
易知直线MN的方程为，即，，
设点B到直线的距离为d，
因为的面积为，所以，解得d=，
设与直线平行且距离为的直线方程为，
由，解得或．
当时，由，得，
显然，此时该直线与椭圆无交点；
当时，由，得，解得或
当点B的坐标为时，直线的斜率为2，
此时直线的斜率为0，此时直线与椭圆只有一个交点，不合题意；
当点B的坐标为时，直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（ii）设，，直线，与E的方程联立，消去y得
，
则，则．
设直线，与直线的方程联立，可得，
则，得，
同理，直线的斜率也满足该式，即，是关于x的方程的两个根，
则，得，
直线，即直线过定点．
19．【答案】（1）解：由，
整理得，
则该圆是以为圆心，6为半径的圆，
因为P是圆上一点，线段与C交于点Q，
且，
所以，
则，解得．
由题意可知，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：（i）当点的直线斜率不存在时，
重合，此时不存在，不合要求；
当点的直线斜率为0时，重合，此时不存在，不合要求，
则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立
整理得，
则
则线段的中点N的坐标为，
设的面积为S，
则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
则面积的最大值为．
（ii）为定值9，理由如下：
设，显然为外接圆圆心，
故可设外接圆的方程为，
因为在外接圆上，
所以，
则，
故外接圆的方程为，
联立，
整理得， 则，
因为，
所以，
解得，
则，为定值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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