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2026届高三数学上学期一轮复习专题：12抛物线（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·四川模拟）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．（2025·淄博模拟）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025·四川模拟）设抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．p
4．（2025·会宁模拟）若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·朝阳模拟）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·绵阳模拟）已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2025·仁寿模拟）已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·嘉兴模拟）已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·桂林模拟）已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（　　）
A．坐标为
B．当时，
C．若，则
D．过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
10．（2025·射洪模拟）已知抛物线的焦点为F，过x轴下方一点作抛物线C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（　　）
A．当点P的坐标为时，则直线AB方程为
B．若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形
C．当时，
D．时，面积的最大值为4
11．（2022·张家口模拟）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（　　）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
三、填空题
12．（2025·浙江模拟）已知直线与抛物线相交于A，B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积为4，则　 　．
13．（2025·白银模拟）已知是抛物线的焦点，是上一点，则　 　.
14．（2025·南充模拟）用平面截圆锥可得到不同的圆锥曲线.如图，已知圆锥的侧面积为，它的轴截面为等腰直角三角形.过圆锥底面圆心O作平面，使圆锥轴与平面成45°角，此时平面截圆锥侧面所得图形记为抛物线C，则抛物线C的焦点到准线的距离为　 　.
四、解答题
15．（2025·温州模拟）抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且．
（1）求的值；
（2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
16．（2025·湖南模拟）在平面直角坐标系xOy中，动点（）到点的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）过直线l：上一点Q作轨迹的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；
（3）过点的动直线与轨迹交于C，D两点，直线CF交轨迹于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为，，求的最小值.
17．（2025·清远模拟）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．
18．（2025·桂林模拟）已知椭圆为的右焦点，短半轴长为为上动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）已知点，点为外一点，直线交于两点，
（i）为原点，若，求直线的方程；
（ii）记直线的斜率分别为，若，求的面积．
19．（2025·杭州模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】2
13．【答案】100
14．【答案】1
15．【答案】（1）解：抛物线，准线方程为，
所以，解得，所以，
因为点在抛物线上，所以，
又，所以，
将代入抛物线，可得，
所以，，.
（2）解：由（1）可知，设中点为，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
设，所以，
因为在抛物线上，所以，所以，
即，
所以，所以，且直线过点，
所以，即，
联立消y整理得
所以，
所以，
而到距离，
所以．
16．【答案】（1）解：由题意可得：，
化简得，即，则轨迹的方程为；
（2）解：因为点在直线上，设，则，
设，对已求得的轨迹方程求导得：，
则在点处的切线方程为：，
又因为，所以切线方程可化为：，
因为点在切线上，所以①，
同理，在点处的切线方程为：，
因为点在切线上，所以②，
由①②可知是方程的两个根，即的两个根，
，
根据韦达定理：，
直线的方程为，
又因为，所以，
则直线的方程为，展开得，
将代入得，
再把代入得：，
令，解得，所以直线过定点；
（3）解：设，直线的方程为，
联立，消元整理可得，
则，由韦达定理可得，
直线的方程为，联立，得，
因为是该方程的一个根，设另一根为，所以，即，
点到直线的距离为：
，
又的面积，的面积，
则.
又因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为81.
17．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，则，
解得，
又因为在椭圆上，
代入方程得，
又因为，可得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由题意，设直线的方程为，
联立，
得，
设，，
则，，
当且仅当时，即当时取等号，
则所求直线的方程为或．
18．【答案】（1）解：，
，
可得椭圆方程：．
（2）解：（i）设直线的方程为：，点，
则，
则，
由题，可得：，
则，
，
则直线的方程为：或．
（ii）①当直线斜率为0时，不妨设，
则，，
所以，
；
②当直线斜率不为0时，设，已知如图所示：
由（i）得，
，
则，
，
，
所以点在定直线上，平行直线，点到直线的距离，
，
综上可知，的面积为．
19．【答案】（1）解：易知，则抛物线方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，则，，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
则直线的方程为：，
联立，解得，同理，
则，解得，
故直线的斜率为；
（3）解：设，
因为，，，
所以，
当时，为定值，则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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