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2026届高三数学上学期一轮复习专题：13双曲线（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·白银模拟）双曲线的虚轴长为（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2025·宜宾模拟）复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（　　）
A．圆 B．双曲线的一支
C．椭圆 D．抛物线
3．（2025·临沂模拟）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南充模拟）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·绍兴模拟）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．10 D．14
6．（2025·雅安模拟）已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·市中区模拟）已知双曲线的焦距为，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·湖州模拟）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·上虞模拟）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（　　）
A．曲线C的图象关于原点对称 B．的最大值
C．直线AB与曲线C没有其它交点 D．曲线C所围成的面积为
10．（2025·甘肃模拟）已知双曲线方程为，则（　　）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率是
C．双曲线的虚轴长是8
D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6
11．（2025·南宁模拟）已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（　　）
A．C的实轴长小于2
B．C的渐近线方程可能为
C．C的离心率大于
D．C的焦距不可能为4
三、填空题
12．（2025·丰台模拟）已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　 　．
13．（2025·四川模拟）已知双曲线，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则的面积为　 　．
14．（2025·长沙模拟）已知双曲线：，分别是的左、右顶点，P是双曲线上与不重合的一动点，直线与交于两点，，的外接圆半径分别为，，则的最小值为　 　．
四、解答题
15．（2024高三下·开平模拟）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
16．（2024高三上·张掖模拟）已知曲线上任意一点满足．
（1）化简曲线的方程；
（2）已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．
17．（2024高三下·广州模拟） 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18．（2024高三下·成都模拟）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明：点在定直线上.
19．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】C,D
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）1
16．【答案】（1）解：记点、，
则
所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设双曲线的方程为，
则，，可得，，
所以，，
因此，曲线的方程为.
（2）解：由图可知，直线的斜率存在且不为，
设、，直线的方程为，
则直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，则，
由消去，化简得，
由题意，且（因为），
则，所以或，
又因为原点到直线的距离为，
所以，
由或得，设，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
且，当且仅当时等号成立，
所以当时，，
所以当时，即当时，.
17．【答案】（1）解：双曲线可化为
，即
双曲线C的标准方程为．
（2）解： 设直线l的方程为，，，
联立双曲线C与直线l：消去x可得：，
，则恒成立，
又直线与双曲线交于右支两点，故，，即，
进而可得，即AB的中点M为，
线段AB的中垂线为，
则，即．
．
即为定值1．
18．【答案】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
19．【答案】（1）解：因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
由，，得，，所以的方程为.
（2）解：（ⅰ）设直线：（）
因为直线过定点，所以.
变形可得，即
所以
整理得（*）
设，则（*）式除以得
此时，是方程的两根，所以，
所以.
（ⅱ）设直线：，由，可得；
设直线：，同理可得；1
.
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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