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2026届高三数学上学期一轮复习专题：14直线与圆的方程（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025高二下·泸县期末）若直线的倾斜角的大小为，则实数（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高三下·宁波月考）已知是曲线上一点，，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
3．（2025·温州模拟）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·西湖期中）“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知曲线C：，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2025高二下·会东期中）曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
7．（2025高二下·长沙期中）圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·湖南模拟）已知直线：与圆：交于，两点，则（　　）
A． B．4 C． D．2
二、多项选择题
9．（2025·雅安模拟）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（　　）
A．曲线的方程为
B．的最大值为6
C．点到直线的距离的最大值为2
D．设直线与曲线的另一个交点为，则
10．（2025·岳麓模拟）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（　　）
A．点P的轨迹方程为
B．以PM为直径的圆过定点
C．的最小值为6
D．若直线PA与圆M切于点A，则
11．（2025·广州模拟）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（　　）
A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4
B．若直线被圆截得的弦长为2，则
C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则
D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1
三、填空题
12．（2025·白云模拟）已知实数满足，则的最小值为　 　.
13．（2025·深圳模拟）已知，，若直线上存在点P，使得，则的取值范围为　 　.
14．（2025·南充模拟）已知曲线，圆，若直线与曲线在处的切线平行，且直线被圆C截得的弦长为6，则直线的方程为　 　.
四、解答题
15．（2025高二下·芙蓉期中）已知关于x，y的二元二次方程表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线与圆C相交于M．N两点，且（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．
16．（2025高二下·河源期中）已知圆：，直线：．
（1）若与仅有一个交点，求；
（2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．
17．（2025·青神模拟）的三个顶点分别是，，.
（1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程；
（2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程；
（ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
18．（2024高二上·南宁期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.
19．（2024高二上·清远期末）已知圆经过点，且与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点且与直线平行的光线经轴反射后与圆相交于，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】解：（1）方程变形为，则圆心C的坐标为；
（2）若表示圆，则，即，故实数k的取值范围为；
（3）若存在， 使直线与圆C相交于M，N两点，
联立，消去整理得，令
由，得，由韦达定理可得：，
由，可得，即，
即，即，
整理可得，解得，满足，
所以存在，满足题意.
16．【答案】（1）解：圆心，半径，因与仅有一个交点，
则圆心到直线的距离，所以.
（2）解：设点，由，得，
化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又点在直线上，则直线与圆存在公共点，
则，解得，
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）解：设线段的中点为，则，
因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为，
又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为；
（2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中）
因为三点都在圆上，可得，
解得，满足，
所以所求圆的方程为，即
（ⅱ）设的坐标是，点的坐标是，
因为的坐标是，且，
所以，解得，
又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
18．【答案】（1）解：令为线段的中点，又，则，
又在圆上运动，故，
所以，故点的轨迹方程为.
（2）解：如图所示：
由（1）知圆心，且半径，
所以圆心到的距离，
所以直线与曲线相离.
19．【答案】（1）解：设圆的方程为，
由题可得
解得
故圆的方程为.
（2）解：设过点且与直线平行的光线所在直线为，
则斜率为，故直线的方程为，
设经轴反射后为直线，斜率，
则直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，
则，
故的面积为.
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