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2026届高三数学上学期一轮复习专题：15统计与概率（全国甲卷专用）
一、选择题
1．（2025·白云模拟）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（　　）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2025·揭阳模拟）若，则（　　）
A．-15 B．-2 C．2 D．15
3．（2025·天河模拟）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（　　）
A．A，B互斥 B．
C． D．A，B，C两两独立
4．（2025·梅河口模拟）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·成华模拟）某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（　　）
学习时间／分钟 60 70 80 90 100 110 120
人数 9 10 14 12 8 5 2
A．75分钟 B．90分钟 C．95分钟 D．100分钟
6．（2025·威海模拟）某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（　　）
A．87.5 B．85 C．82.5 D．80
7．（2025·海淀模拟）在的展开式中，的系数为，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长沙模拟）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布（），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（　　）
A．150 B．200 C．300 D．400
二、多项选择题
9．（2025·揭阳模拟）已知甲组样本数据：，，，，乙组样本数据：，，，，，其中，且甲、乙两组样本数据的平均数相同，则（　　）
A．两组样本数据的样本中位数相同
B．两组样本数据的样本极差相同
C．两组样本数据的样本第30百分位数相同
D．两组样本数据的样本方差相同
10．（2025·天河模拟）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．（2025·天河模拟）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共项
B．各项系数的和为1
C．项的系数为
D．二项式系数最大的项为第项
三、填空题
12．（2025·湘阴模拟）的展开式中的系数为　 　．
13．（2025·湖南模拟）如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为　 　.
14．（2025·北京市模拟）设，则　 　；当时，　 　．
四、解答题
15．（2025·梅河口模拟）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.
（1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；
（2）用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.
16．（2025·桐乡市模拟）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求：
（1）赛完4局且甲获胜的概率；
（2）在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．
17．（2025·丰台模拟）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．
（1）估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
（2）用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
（3）为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明）
18．（2025·湖南模拟）某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
　 红色外观 蓝色外观
棕色内饰 7 10
米色内饰 3 5
（1）若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件为抽到的模型为红色外观，事件为抽到的模型是米色内饰，求，并据此判断事件是否相互独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为元，求的分布列与期望.
19．（2025·海淀模拟）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
颜色 小学生 初中生 高中生
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
黑色 80 20 40 20 20 20
白色 60 40 30 30 30 10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
（1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率；
（2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望；
（3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明）
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,D
12．【答案】80
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为，
因为乙同学没有要求，
则选中建模的概率为，
所以，甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为.
（2）解：由（1）甲选中建模的概率为，
乙选中建模的概率为，
丙选中建模的概率为，
由题意可能的取值有0，1，2，3，
则，
.
故的分布列为：
0 1 2 3
则.
16．【答案】（1）解：赛完4局且甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局，
设事件为“赛完4局且甲获胜”，则.
（2）解：设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则，
事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，
其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为，
第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1，2，4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜，
第5局甲获胜，概率为，
所以，
所以
17．【答案】（1）解：由题意，可得样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有：
人，
其中近视的学生有人，
所以，估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为．

（2）解：设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”，
由题意可得，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，
这名学生近视的概率为，
从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，
这名学生近视的概率为，
则
（3）解：由题意可知：日均户外活动时长在区间内的频率为；
日均户外活动时长在区间内的频率为；
日均户外活动时长在区间内的频率为，
则原数据的平均数为，
采取措施一后，
该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为：；
采取措施二后，
该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为：，
因为，
所以.
18．【答案】（1）解：红色外观共有（个），，
米色内饰共有（个），，
是红色外观且是米色内饰的有个，，
，
，、不相互独立.
（2）解：由题意知的所有可能取值为，
因为，
，
，
的分布列为
600 300 150
.
19．【答案】（1）解：由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，
估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率.
（2）解：用频率估计概率，
由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为：，
从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为，
由题意，可知的可能取值为，
，
，
.
所以的分布列为：
.
（3）解：小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为；
初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为；
高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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