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三角形 单元测试培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，图中的字母表示三角形的边长若要使两个三角形全等，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图， 是等腰三角形， 平分 ； 点 是射线 上一点， 如果点 满足 是等腰三角形， 那么 的度数是（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，直线，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
10．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（　　）
A．②③④ B．①② C．①④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为　 　．
12．若，且，，则　 　.
13．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 　 　．
14．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为　 　．
15．如图，在 中， 和 的平分线交于点O，过O点作 ，交 于E，交 于F，若 ， ，则线段 的长为　 　．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有　 　.（把你认为正确的序号都填上）
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）当∠A=40°，∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）
当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3） 小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP，那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
18．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC.
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD.
（1）求证：∠BAD=∠C；
（2）若CA=CD，求∠B的度数。
20．如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．
21．已知：如图1， 中， .
（1）请你以 为一边，在 的同侧构造一个与 全等的三角形 ，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形 中① ；② ；③ .请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是__▲_，结论是_▲（只要填写序号）
22．解答下列各题
（1）小明在学行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： 　 　．
（2）小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法：
①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）；
②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C；
③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线
这样，就得到直线．你能说明的理由吗？
23．已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
备用图
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明
24．如图，△ABC中，AB=AC，作AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD和CE相交于点F，若已知AE=CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）求证：AF=2CD。
25．知识链接：
“转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.
（1）问题背景：已知：△ABC.试说明：∠A+∠B+∠C=180°.
问题解决：（填出依据）
解：（1）如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.
∵BF∥AC（作图）
∴∠1=∠C（ ）
∠2=∠A（ ）
∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）
小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.”
（2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°”
（3）拓展探究：如图③，是一个五边形，请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　.
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三角形 单元测试培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，图中的字母表示三角形的边长若要使两个三角形全等，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
3．如图， 是等腰三角形， 平分 ； 点 是射线 上一点， 如果点 满足 是等腰三角形， 那么 的度数是（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】【解答】解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
．
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
综上所述，的度数是：、或，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论：当时，当时，当时，进而结合题意根据角平分线的定义进行角的运算即可求解。
4．如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
5．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
6．如图，等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
7．如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
8．如图，直线，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
9．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
10．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（　　）
A．②③④ B．①② C．①④ D．①②③④
【答案】B
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为　 　．
【答案】3
12．若，且，，则　 　.
【答案】70°
【解析】【解答】解：∵
∴
∵，，
∴
∴70°
故答案为： 70° ．
【分析】根据全等三角形的性质，得出进而根据三角形的内角定理即可求解．
13．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算求出∠ADB的度数，最后利用三角形的内角和求出∠BAD的度数即可.
14．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为　 　．
【答案】2
15．如图，在 中， 和 的平分线交于点O，过O点作 ，交 于E，交 于F，若 ， ，则线段 的长为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵BO、CO是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠BCO，
又∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠BCO=∠COF，
∴∠OBE=∠BOE，∠COF=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF=3+2=5，
故答案为：5．
【分析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠OBE=∠BOE，∠COF=∠OCF，那么利用等角对等边可得出线段相等，再利用等量代换可求得EF的值。
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有　 　.（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①②③⑤
【解析】【解答】证明： ①∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，正确；
②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∵∠BCD=180°-∠BCA-∠DCE=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=60°=∠ECD，
∴PQ∥AE，正确；
③∵ △ACD≌△BCE，
∴AP=BQ ，正确；
④∵∠CPD=∠CPQ+∠QPD>60°，∠PCQ=60°，
∴∠CPD>∠PCQ，
∴DC>DP，
∴DE>DP，错误；
⑤ ∠AOB=∠OAE+∠OEA=∠CBE+∠OEA=∠ACB=60°， 正确.
综上，正确的选项是 ①②③⑤ ；
故答案为： ①②③⑤ .
【分析】 ① 利用边角边定理可证△ACD≌△BCE，则AD=BE； ②利用角边角定理可证△ACP≌△BCQ，可得CP=CQ，结合∠PCQ为60°，可得△PCQ为等边三角形，于是可用内错角相等证得PQ∥AE； ③由△ACP≌△BCQ可得AP=BQ ；④运用三角形大角对大边的性质可证DC>DP，结合等边三角形的性质可得DE>DP； ⑤ 利用三角形外角的性质可求 ∠AOB的度数.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）当∠A=40°，∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）
当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3） 小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP，那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
【答案】（1）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，
∴∠ABC+∠ACB=2∠2+2∠4
∵∠A=40°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=2∠2=180°-40°-60°=80°，
∴∠2=30°，∠4=40°，
∴∠BPC=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°.
（2）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∵∠A= α° ，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- α°即2∠2+2∠4=180°- α°∴∠2+∠4=，∵∠BPC=180°-（∠2+∠4）=180°-（）=；
（3）证明：如图，
∵BQ⊥BP
∴∠QBP=∠2+∠QBC=90°，
∴∠1+∠QBP+∠DBQ=180°，
∴∠1+∠DBQ=90°，
∵∠1=∠2
∴∠QBC=∠DBQ，
∴BQ是∠CBD的平分线.
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，再利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，就可求出∠2和∠4的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数.
（2）利用角平分线的定义及三角形内角和定理，易证∠ABC+∠ACB=180°- α°，∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，代入计算可求出∠2+∠4的值，再利用三角形内角和定理就可用含α°的代数式表示出∠BPC.
（3）利用垂直的定义及平角的定义，可证得∠1+∠DBQ=90°，∠2+∠QBC=90°，再利用余角的性质，可证得∠QBC=∠DBQ，继而可证得结论。
18．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC.
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）解：结论AD+AB=AC成立.
理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，
∵∠BAC=60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC.
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义、垂直的定义及三角形的内角和得出 ∠DCA=∠BCA=30°， 然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 AC=2AD，AC=2AB， 从而即可得出AD+AB=AC；
（2） 结论AD+AB=AC成立 ， 理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE， 首先判断出 △CAE为等边三角形， 根据等边三角形的性质得出 AC=CE，∠AEC=60°， 然后根据同角的补角相等得出 ∠ADC=∠EBC， 用AAS判断出 △ADC≌△EBC， 根据全等三角形的对应边相等得出 DC=BC，DA=BE， 从而即可得出结论.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD.
（1）求证：∠BAD=∠C；
（2）若CA=CD，求∠B的度数。
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠BAD=∠C
（2）解：∵CA=CD，
∴∠ADC=∠DAC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠DAC=2∠B，
∴∠C+4∠B=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=36°
【解析】【分析】（1）由题意，根据等腰三角形的性质“等边对等角”可得∠BAD= ∠B=∠C；
（2）由题意，根据等腰三角形的性质“等边对等角”可得∠ADC= ∠DAC，由三角形外角的性质可得 ∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B=∠DAC，在三角形ABC中用三角形内角和定理可得关于∠B的方程，解方程即可求解.
20．如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．
【答案】（1）证明：△ACM和△CEF是等边三角形，
∴CA=CM，CE=CF，
∠ACM=∠ECF=60°，
在△ACE和△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△MCF（SAS），
∴∠CAE=∠CMF，
∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN与△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（ASA），
∴CN=CB，
∵∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，
∴△CNB是等边三角形．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，根据SAS证明 △ACE≌△MCF ；
（2） 根据ASA证明△ACN≌△MCB，可得CN=CB， 易求∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°， 根据等边三角形的判定即证结论.
21．已知：如图1， 中， .
（1）请你以 为一边，在 的同侧构造一个与 全等的三角形 ，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形 中① ；② ；③ .请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是__▲_，结论是_▲（只要填写序号）
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：选择的条件是①②，结论是③，理由如下：
延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，
∵ ，∠DAC+∠EAC=180°，
∴∠ACB=∠EAC，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴∠B=∠E，AB=CE，
∵ ，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∴CD=AB，
故答案是：①②；③.
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，DC长为半径画弧，再以点C为圆心，AD长为圆心画弧，两个弧交于点E，连接AE、CE即得到图形；
（2）选择的条件是①②，结论是③，延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，根据已知条件得∠ACB=∠EAC ，从而易得△ABC≌△CEA ，得到∠B=∠E=∠D，AB=CE=CD，得出结果.
22．解答下列各题
（1）小明在学行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： 　 　．
（2）小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法：
①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）；
②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C；
③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线
这样，就得到直线．你能说明的理由吗？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行
（2）解：由小丽的作图方法可知：，
∴，
∵，
，
∴
∴，
即（同位角相等，两直线平行）．
【解析】【解答】（1） 由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行进行解答即可；
（2）由作图知BP=BD，AB=BC，利用等边对等角可得，，由三角形的内角和知，，即得∠BPD=∠BAC，根据同位角相等，两直线平行即得结论.
23．已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
备用图
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，
∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）解：∠DAB=150°，
如图：
∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【解析】【分析】（1）根据题意补图即可；
（2） 在BQ上截取BE=AO，连接CE，证明△CAO≌△CBE（SAS），可得CO=CE，∠COA=∠CEB，
利用等边对等角可得∠COE=∠CEB，从而得出∠COP=∠COQ；
（3） 由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠ABD=15° ， 由等边三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=
∠ACB =60°， 利用周角的定义求出∠CAD=150°，再次利用等腰三角形的性质求出∠ADC=∠ACD
=15°， 从而求出∠DBC=∠DCB=75°，利用等角对等边可得DB=DC， 利用三角形内角和求出∠DFO=90° ，由等腰三角形及线段垂直平分线的性质得出DO=OC ，由DB=DO+OB，可得CD=DB=CO+OB.
24．如图，△ABC中，AB=AC，作AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD和CE相交于点F，若已知AE=CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）求证：AF=2CD。
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB
∴∠AEC=∠BEC=∠ADC=900
∵∠AFE=∠DFC
∴1800-∠AFE-∠AEC=1800-∠DFC-∠ADC
即∠EAF=∠ECB
又∵AE=CE
∴△AEF≌△CEB
（2）证明：由（1）得：△AEF≌△CEB
∴AF=BC
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD = CD = BC
即 BC=2CD
∴AF=2CD
【解析】【分析】（1）根据题意，由垂直的性质以及三角形的内角和定理，结合三角形全等的判定定理证明得到△AEF≌△CEB。
（2）根据（1）中的三角形全等的性质，即可得到AF=BC，计算得到AF=2CD即可。
25．知识链接：
“转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.
（1）问题背景：已知：△ABC.试说明：∠A+∠B+∠C=180°.
问题解决：（填出依据）
解：（1）如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.
∵BF∥AC（作图）
∴∠1=∠C（ ）
∠2=∠A（ ）
∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）
小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.”
（2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°”
（3）拓展探究：如图③，是一个五边形，请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　.
【答案】（1）解：如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.
∵BF∥AC（作图）
∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠A（两直线平行，同位角相等）
∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）
（2）解：如图②，过C作MN∥AB
∵MN∥AB
∴∠1=∠B，∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定义）
∴A+∠ABC+∠C=180°
（3）540°
【解析】【解答】（3）解：如图：连接EC、EB，
∵在△ABC、△ACD和△AED中，
∴∠BAC+∠B+∠ACB=180"，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°∠DAE+∠E+∠ADE=180°
∴∠BAE+∠B+∠DCB+ ∠CDE+∠E
=∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠BCA+∠ACD+∠ADE+∠ADC+∠B+∠E
=(∠BAC+∠B+∠ACB)+( ∠DAC+∠ACD+∠ADC)+( ∠DAE+∠E+∠ADE)
=540°
【分析】(1)运用平行线的性质进行分析即可；（2）运用两次两直线平行，内错角相等即可；(3)连接EC、EB，转换成三个三角形的内角和即可.
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