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人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
主题情境·公园景观化改造
在设计人体雕像时，使雕像的上部 (腰以上)与下部 (腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感. 按此比例，如果雕像的高为 2 m，那么它的下部应该设计为多高?
A
C
B
2 m
A
C
B
如图，雕像的上部高度AC 与下部高度 BC应有如下关系：
AC∶BC = BC∶2，即 BC 2 = 2AC.
设雕像下部高 x m，可得方程 x2 = 2(2 - x)，
整理得： x2+2x - 4＝0.
这个方程与我们学过的一元一次方
程不同，其中未知数x的最高次数是2.
如何解这类方程？如何用这类方程解决一些实际问题？这就是本章要学习的
主要内容.
2 m
还记得方程的学习过程吗？
实际情境
数学问题
已知量、未知量、等量关系
方程
方程的解
解的合理性
建立模型
分析
抽象
解方程
检验是否符合实际
那一元二次方程也是一样吗？
实际问题
一元二次方程ax2+bx+c=0
实际问题的答案
解决实际问题
解方程
设未知数，列方程
检验
配方法
公式法
因式分解法
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
降
次
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一元一次方程作为基础，为一元二次方程提供了必要的解题技巧，而一元二次方程则是在此基础上的扩展和应用，两者体现了从简单到复杂、循序渐进的学习过程.
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人教八上
人教九上
①在解一元二次方程时，经常需要进行移项、合并同类项等操作，这些操作依据源自整式的加减中所学的内容；
②通过因式分解，可以将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程来求解，从而简化求解过程；
综上：整式的加减和乘法为一元二次方程的学习提供了必要的代数基础和运算工具，而因式分解则是解一元二次方程的重要方法之一.
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①一元二次方程的概念、解法等知识为二次函数的学习奠定了基础，而二次函数的图象和性质可以帮助我们直观地理解一元二次方程的解的情况.
②一元二次方程和二次函数的关系，与一元一次方程和一次函数的关系类似；可以类比后者之间的关系理解、学习前者.
1.已知一元二次方程的一个解，求字母或代数式的值；
2.直接考查解一元二次方程；
3.一元二次方程根的判别式：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，或已知含参一元二次根的情况，求参数的值或取值范围；或结合特殊图形(如菱形、等边三角形等)考查一元二次方程根的情况；
4.一元二次方程的根与系数的关系：直接利用根与系数的关系求代数式的值；或已知代数式的值，利用根与系数的关系求参数的值；
5.考查一元二次方程的实际应用(包括图形面积、变化率、利润问题等).
1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式并能确定项和系数.
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
3.理解一元二次方程根的概念，并能解决有关问题.
某社区秉持着“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，要打造独具特色的“幸福林”，现准备对社区公园进行景观化改造.
解：设剪去的正方形边长为x m，则矩形塑料薄膜的长为 (10 - 2x) m，宽为 (6 - 2x) m. 根据花圃的面积为32 m2，得
公园花匠打算用一张长10 m，宽6 m的矩形塑料薄膜为公园花圃刚种下的花制作暖棚，若把暖棚看做一个长方体，花圃面积为32 m2，将塑料薄膜的四个角各剪去一个同样的正方形，将四周向下折叠即可(损耗不计)刚好能够完全覆盖花圃，那么薄膜各角应剪去多大的正方形？
(10 - 2x) (6 - 2x) ＝ 32
任务一 制作暖棚
(10 - 2x) (6 - 2x) ＝ 32
整理，得
4x2 - 32x + 28 ＝ 0
化简，得
x2 - 8x + 7 ＝ 0
①
由方程①可以得出所剪正方形的具体尺寸.
方程①中未知数的个数和最高次数各是多少？
任务二 建造人行观赏道
为了方便居民欣赏园林风景，在公园内一片长度为20 m，宽度为10 m的矩形花圃内计划修建三条宽度相等的小道，每条道路的两边互相平行(图中黄色区域)，剩余部分为花圃. 若要使花圃的面积为120 m2，则小道的宽度应为多少米？
解：设小道的宽度为 x m，则剩余种花
的长为(20 - 2x) m，宽为(10 - x) m，
根据花圃的面积为120 m2，得
(20 - 2x)(10 - x)＝120.
(20 - 2x)(10 - x) ＝ 120
整理，得
2x2 - 40x + 80 ＝ 0.
化简，得
x2 - 20x + 40 ＝ 0.
②
由方程②可以得出小道的宽度.
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
任务三 建造花圃
现打算建造一个矩形花圃种植两种不同的花卉. 用长为24 m的篱笆将花圃围起来并有一面靠着墙(墙的最大可用长度是10 m)，且用篱笆将两种不同的花卉隔离开. 如果要围成面积为40 m2的花圃，AB的长是多少米？
解：设花圃的宽 AB 为 x m，则花圃的长BC 为(24 - 3x) m，
根据花圃面积为40 m2，得
x (24 - 3x) ＝ 40.
整理得 - 3x2 + 24x ＝ 40.
③
由方程 ③ 可以得出 AB 的长.
10 m
思考1 方程①②③有什么共同特点？
x2 - 8x + 7 ＝ 0
①
x2 - 20x + 40 ＝ 0
②
1. 等号的两边都是整式；
2. 只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是2.
归纳总结
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
- 3x2 + 24x ＝ 40
③
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0 (a，b，c为常数，a≠0)
试着说一说以上我们列出的方程的二次项系数、一次项系数和常数项！
ax2
称为二次项， a 称为二次项系数；
bx
称为一次项， b 称为一次项系数；
c
称为常数项.
思考2 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b，c 可以为任意实数.
不是一元二次方程
三种形式
例 将方程 3x ( x - 1 ) = 5 ( x + 2 )化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x? - 8x - 10 = 0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
变式 若 (m-1) x????＋1＋2mx＋2=0是关于x的一元二次方程，求m的值为多少？
?
解：由题意得：
解①得m ≠ 1；
解②得????=1，m = ±1，
又m ≠ 1，故m= -1.
?
方法总结
判别一个方程是否为一元二次方程的步骤：
①先判断等号两边是否都为整式；
②化：化简，去括号；
③移：将所有项移到等号左边，等号右边为0；
④合：合并同类项；
⑤看：看是否只含有一个未知数，未知数的最高次数是否为2.
思考3 结合一元一次方程的学习，你知道什么是一元二次方程的解吗？
归纳总结
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
一元一次方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( @3@ )
B
A. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0 B. (x-1) (x+2) = 1
C. ax2 + bx + c = 0 D.
2. (2024 深圳)一元二次方程 x? - 4x + a = 0 的一个解为 x = 1，
则a =______.
3
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
2x2 = 4x
x2 = 2
3x (x-1) = 5
(x-1)(x+3)=5
2x2 - 4x = 0
2
-4
0
x2 - 2 = 0
1
0
-2
3x2 - 3x - 5 = 0
3
-3
-5
x2 + 2x - 8 = 0
1
2
-8
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形的宽 x；
4. 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是一元二次方程请指出二次项系数，一次项系数和常数项.
解：根据题意列方程为 4x ( x + 2 ) = 100，
去括号化为一般式为 x2 + 2x - 25 = 0.
该方程是一元二次方程.
二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25.
(2)若一块矩形公园的长比宽多2，周长为100，求公园的宽 x；
解：根据题意列方程为2x + 2(x + 2)=100 ，
去括号得4x - 96=0.
该方程不是一元二次方程.
(3)若一块矩形公园的面积为64平方米，它的长与宽共12米，求它的长 x．
解：根据题意列方程为x(12 - x)=64，
去括号化为一般式为 -x2 + 12x - 64=0 .
该方程是一元二次方程.
二次项系数为-1，一次项系数为12，常数项为-64.
①等号左右两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2
常见形式
解(又叫做根)
概念
一元二次
方程
一般形式：ax2+bx+c=0
其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0
注意：a，b，c为常数，且a ≠0
使方程左右两边相等的未知数的值
Thanks!
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