资源简介

(共23张PPT)
人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
1.经历一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.会用根的判别式判断一元二次方程根的情况.
3.会熟练应用公式法解一元二次方程.
2.小宇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小2，则可列方程为__________________.
1.为了美化环境，2023年某市的绿化投资额为20万元，2025年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，则可列方程为_________________.
20 (1 + x )2 = 45
a 2 - 2a = 2
可化为20 x 2 + 40 x - 25 = 0
可化为a 2 - 2a - 2 = 0
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax 2 + bx + c = 0(a≠0).
能否也用配方法得出
ax 2 + bx + c = 0(a≠0)
的解呢？
探究 能否用配方法得出 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解？
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题.
将ax 2 + bx + c = 0 移项，得：ax 2 + bx = - c
二次项系数化为1，得：
配方，得：
即： ①
因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况：
(1) b2-4ac > 0
这时 ，由①得
方程有两个不等的实数根
因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况：
(2) b2-4ac = 0
这时 ，由①得，方程有两个相等的实数根
(3) b2-4ac ＜ 0
这时 ，由①可知 ，而 x 取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
Δ＞ 0
Δ= 0
Δ＜ 0
两个不等的实数根
两个相等的实数根
无实数根
问题 不难发现，我们是通过式子 b2 - 4ac来判断ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解，是如何通过b2 - 4ac来判断的呢？
一般地，式子 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ= b2-4ac.
归纳总结
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当Δ ≥ 0时，它的实数根可写为 .
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
求根公式
注意：①首先要将方程化为一般式；
②判定b2 - 4ac ≥ 0后，才可以用求根公式求解.
例1 用公式法解下列方程：
(1) x2 - 4x - 7 ＝ 0
解：(1)a = 1， b= - 4，c = - 7 .
Δ= b2 - 4ac= ( - 4 )2 - 4 × 1 × ( - 7 ) = 44 ＞ 0 ，
方程有两个不等的实数根
即
(2) 2x2－ ＋1 = 0；
例1 用公式法解下列方程：
解：(2)a = 2， b= ，c = 1 .
Δ = b2 - 4ac= - 4×2×1 = 0 ，
方程有两个相等的实数根
(3) 5x2－3x＝x＋1；
例1 用公式法解下列方程：
解：(3)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ = b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36 > 0.
方程有两个不等的实数根
即
(4) x2＋17＝8x.
例1 用公式法解下列方程：
解：(4)方程化为x2－8x＋17＝0.
a ＝ 1，b＝-8，c＝17.
Δ = b2－4ac＝(-8)2－4×1×17
＝ - 4 < 0.
方程无实数根．
你能总结公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
公式法解一元二次方程的一般步骤
1.把方程化成一般式，并写出a，b，c的值；
2.求出 的值；
若 ≥0
3.代入求根公式；
4.写出方程的根.
若 ＜0
方程无实数根
方法总结
例2 回到本章引言中的问题，雕像下部高度x(单位：m)满足方程
x2 + 2x - 4＝0 .
用公式法解这个方程.
如果结果保留小数点后两位，那么 x1 ≈ 1.24，x2 ≈ -3.24.
这两个根中，只有x1 ≈ 1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度设计为约1.24 m.
解：a＝1，b＝ 2，c＝ - 4.
Δ = b2－4ac＝22 - 4×1×(-4)＝20＞0.
方程有两个不等的实数根
即
1. (2024上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0
C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0
D
2. (2024云南)若一元二次方程x －2x＋c = 0无实数根，则实数c的取值范围为 ______.
c＞1
3.(2024南通)已知关于x的一元二次方程x －2x＋k = 0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
k = -1(答案不唯一)
4. 用公式法解下列方程：
( 1 ) x2-10x + 25 = 0；
( 2 ) 3x2 + 8x - 4 = 0.
解：
方程有两个不等的实根
即
Δ= b2－4ac＝82－4×3×(-4) = 112＞0，
解：
Δ =
即
5. 已知关于x的方程 (m+1) x2 - 2mx + m - 3 = 0 有实数根，求m的取值范围.
解：①当m+1=0 ，即m = -1 时，一元一次方程为2x-4=0，此时方程有实数根；
②当m+1 ≠ 0 ，即m ≠ -1时，
若一元二次方程 (m+1) x2 - 2mx + m - 3 = 0有实数根，
则b2－4ac＝(-2m)2 - 4×( m + 1 ) × ( m - 3 ) = 8m + 12 ≥ 0 ，
解得 m ≥ 且m ≠ -1.
5. (过程纠错改错)小海同学解一元二次方程 的过程如下：
解：a ＝ 4，b＝ ，c＝
Δ = b2－4ac＝
(1)小海的求解过程是从________步开始出现错误.
①
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根.
解：a ＝ 4，b＝ ，c ＝ .
Δ = b2－4ac＝
一般地，式子 b2－4 ac 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)根的判别式.
判别式与一元
二次方程根的
情况的关系
公式法
一元二次方程根
的判别式
求根公式
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑