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人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
1.会用因式分解法解一元二次方程.
2.会根据一元二次方程的特征，灵活、准确运用因式分解法解一元二次方程.
解下列一元二次方程：
(1) x - 7 = 0
(2) x + 10x + 9 = 0
直接开平方法
配方法
解：移项得，x = 7
即
∴
解：移项得，x + 10x = -9.
配方，得 x + 10x + 5 = 16
(x + 5) = 16
由此可得 x + 5 = ±4
解下列一元二次方程：
(3) ( 2x-5 ) ( x+7 ) = 0
公式法
解：化成一般式得：2x2+9x-35=0
a＝2，b＝ 9，c＝-35
b2－4ac = 361 > 0
∴方程有两个不等的实数根
即
观察(3)的解和原方程有什么关系？
( 2x-5 ) ( x+7 ) = 0
解得：
当x = 时，( 2x-5 ) = 0； 当x = -7 时，(x+7 ) = 0.
我们发现像(2x-5)(x+7)=0这样的方程，他的解就是依据如果a·b=0，那么a=0或b=0，令两个因式中其中一个为0得出来的
那是不是像这样的方程都可以这么去解呢？
一起来探究一个实例吧！
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s离地面的高度(单位：m)为
10x - 4.9x2 .
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的
高度为0 m ，即
10x - 4.9 x2 = 0 ①
思考1 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
解：方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x (10 - 4.9x) = 0
10x - 4.9 x2 = 0 ①
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
如果a·b=0，那么a = 0，或b = 0.
x (10 - 4.9x) = 0
所以 x = 0，或(10 - 4.9x) = 0 ②
所以，方程①的两个根是 x1 = 0，x2 = ≈ 2.04 .
这两个根中，x2 ≈ 2.04 表示物体约在2.04 s时落回地面，而x =0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.
思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
10x - 4.9 x2 = 0 x (10 - 4.9x) = 0
通过因式分解
归纳总结
可以发现上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例1 解下列方程：
解：因式分解，得
于是得
x－2＝0 或 x＋1=0，
x1 = 2，x2 = －1.
(x－2)(x＋1)=0.
解：移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0，
可以试用多种方法解本例中的两个方程.
问题 尝试归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤.
简记歌诀：
右化零，左分解，
两因式，各求解.
方法总结
(1)移项：将方程化为一般形式；
(2)化积：将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)转化：令每个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
例2 将下列序号填到对应的横线上.
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t 2 + t = 0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
②
⑥
③
⑤
⑨
①
⑦
⑧
④
思路：都是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程解决.
方法 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开 平方法 ( mx ＋ n )2＝ p ( m ≠0， p ≥0) 开平方 求解迅速，但只适用于一些特殊的方程
配方法 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可优先用此法
公式法 所有的一元二次方程 代入求 根公式 计算量大，易出现符号错误
因式分 解法 适用于等号左边是两个一次因式的积，右边是0的方程 分解因式 求解迅速，但适用范围较小
1. (2024贵州)一元二次方程 x2 - 2x＝0的解是(　　)
A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0
C. x1＝3，x2＝-2 D. x1＝ - 2，x2＝ - 1
B
2. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个根6和－2，那么二次三项式x2＋px＋q可分解因式为(　　)
A. (x＋6)(x＋2) B. (x＋6)(x－2)
C. (x－6)(x－2) D. (x－6)(x＋2)
D
3.下面是一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0的解答过程：
∵x2 - 2x + 1 = 4，(x-1)2 = 4，
∴x - 1 = ±2，
∴x1 = 3 或 x2 = - 1．
上述解法用到的方法是( )
A. 直接开平方法 B. 因式分解法
C. 公式法 D. 配方法
D
4. 请选择你认为适当的方法解下列方程．
(1)(x+4) =4x +1-4x ； (2) x - 4x - 1 = 0；
配方法：
解：整理，得x - 4x + 4 = 5
(x - 2)2 = 5
即
即
直接开平方法：
解：整理，得(x+4) =(2x-1)
x + 4 = ± (2x - 1)
x+ 4 = 2x - 1 或 x + 4 = -2x + 1
(3)2x +x-1=0 ； (4) x(x - 4) = 2x - 8 .
因式分解，得(x - 4) (x - 2)＝0
解得 .
因式分解法：
解：移项，得 x(x - 4) -2x + 8 =0，
整理，得 x(x - 4) -2(x - 4)=0.
4. 请选择你认为适当的方法解下列方程．
即
公式法：
解：a＝2，b＝1，c＝-1.
b2－4ac＝1 - 4×2×(-1) = 9 > 0.
方程有两个不等的实数根
5. (过程纠错改错)下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？
解一元二次方程：(2x﹣1)2＝4x﹣2．
解：原方程变形为(2x﹣1)2＝2(2x﹣1)…①
两边同时除以(2x﹣1)，得2x﹣1＝2…②
移项，合并得2x＝3…③
系数化为1，得 …④
上述解法中，该解法第一步采用的是__________法解方程；第二步的依据是___________，你认为第 ___步有问题，问题在于______________.
提公因式
等式的性质　
②
2x﹣1可以为0
解一元二次方程：(2x﹣1)2＝4x﹣2．
解：原方程变形为(2x﹣1)2＝2(2x﹣1)…①
两边同时除以(2x﹣1)，得2x﹣1＝2…②
移项，合并得2x＝3…③
系数化为1，得 …④
请你将该方法正确的过程写出来．
解：(2)正确解法为：(2x﹣1)2＝4x﹣2，
(2x﹣1)2﹣2(2x﹣1)＝0，
(2x﹣1)(2x﹣1﹣2)＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0，
所以，x1= ，x2= .
(1)移项：将方程化为一般形式；
(2)化积：将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)转化：令每个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
步骤
因式分解法
先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
概念
一元二次方程四种解法的特点
Thanks!
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