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人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程根
与系数的关系
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系.
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
方程的两根 x1和 x2与系数a、b、c还有其他关系吗？
1. 方程ax +bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0)根的情况？
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗
思考1
把方程( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0的左边展开，化成一般形式，得
x2 - ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0
二次项系数为1
一次项系数p = - ( x1+x2 )
常数项q = x1x2
可以发现，方程x2+px+q=0的两根的和、积与系数的关系为：
x1+x2= -p， x1x2=q.
一般的一元二次方程ax2 + bx + c = 0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
思考2
由求根公式知 ， .
由此可得
把方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
归纳总结
若 x1，x2是一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两个根，则有：
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；
两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
　　　　　
变式 已知x1，x2 是 一元二次方程 x ＋ax＋16 = 0的两个根， ，求 a 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4×1×16 ≥ 0，
即 a ≥ 8或a ≤ -8.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = - a，x1 x2 = 16.
所以 ，
解得 a = -16.
运用根与系数的关系需注意前提条件：
(1)方程必须是一元二次方程；
(2)一定要将方程化为一般形式；
(3)方程必须有实数根，即 b2－4 ac ≥0.
例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x ＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
解：根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x ＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
解：根据根与系数的关系得：
(3)
(4)
常见求值公式变形
归纳总结
1.已知关于x的一元二次方程x2+4ax﹣4＝0，则此方程根的情况是( )
A. 两个相等的实数根 B.两根之和为﹣4
C. 两根之积为﹣4 D. 无实数根
C
2.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是( )
A. x2 + 6x + 5 ＝ 0 B. x2 - 7x + 10 ＝ 0
C. x2 - 5x + 2 ＝ 0 D. x2 - 6x - 10 ＝ 0
B
3.填空：
(1)(2024烟台)若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为____________.
6
引导思路
3m2﹣4m+n2
变形
含m+n，mn的形式
2m2﹣4m+(m+n)2﹣2mn
2x2﹣4x﹣1＝0
2m2﹣4m = 1
m + n = 2
mn =
代入
求值
m，n为一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的根
(2)(2024成都)若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+(n﹣2)2的值为____________.
3.填空：
引导思路
x2﹣5x+2＝0
m，n为一元二次方程x2﹣5x + 2＝0的根
m2﹣5m＝ - 2
m+n ＝ 5
n＝ 5 - m
m+(n﹣2)2可化为
m2﹣5m+ 9
代入
求值
7
4.已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2．
(1)填空：x1+x2＝______，x1x2＝_______；
(2)求 ， ；
p
1
解：∵x1 + x2 ＝ p，x1x2 ＝ 1，
∴ ；
∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2 ，
∴x12 - px1 +1 = 0 ，
∴x1- p + = 0 ，即 .
4.已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2．
(3)已知x12 +x22 ＝ 2p+1，求 p 的值．
解：由根与系数的关系得：x1 + x2 ＝ p，x1x2 ＝ 1，
∵x12 +x22 ＝ 2p+1，
∴(x1 +x2)2 ﹣2x1x2＝ 2p+1，∴p2﹣2 ＝ 2p + 1，
解得 p1 ＝ 3，p2 ＝ ﹣1，
当 p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3．
若 x1，x2是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个根，则有：
常见应用
一元二次方程的
根与系数的关系
内容
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