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人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 变化率问题
和销售利润问题
1. 掌握建立数学模型解决平均变化率问题和销售利润问题.
2. 能根据具体问题中的数量关系，建立正确的数学模型.
3. 在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？
年平均增长/下降率问题如何解决呢？
探究 1 平均变化率问题
分析：甲种药品成本的年平均下降额为 (5 0003 000)÷2＝1 000 (元)，
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 0003 600)÷2＝1 200 (元).
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大. 但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为
5 000(1 - x )元，两年后甲种药品成本为5 000(1 - x )2元，于是有
5 000(1 - x)2 = 3 000.
解方程，得 x1 ≈ 0.225，x2 ≈ 1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
因为下降率不可为负，且不大于1.
为什么选择22.5%作为答案？
问题 乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率.
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元.
解：设乙种药品的年平均下降率为 y，列方程得6 000(1 - y)2 = 3 600.
解方程，得 y1 ≈ 0.225，y2 ≈ 1.775(舍去).
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
综上所述，甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.
①成本下降额较大的产品， 其成本下降率不一定较大.
②成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
思考 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
若平均增长(或降低)百分率为 x ，
增长(或降低)前的量是 a ，
增长(或降低) n 次后的量是 b ，
则它们的数量关系可表示为: .
其中增长用“+”表示，降低用“－”表示.
归纳总结
例 小明同学在2022年秋季升入七年级时的身高是140 cm，小林同学在2022年秋季升入七年级时的身高是145 cm；在2024年秋季升入九年级时小明同学的身高是169.4 cm，小林同学的身高是170 cm，小明和小林谁身高的年平均增长率更大呢？
解：设小明同学身高的年平均增长率为 x ，小林同学身高的年平均增长率为 y ，则可列得方程：140(1 + x)2 = 169.4 ①，145(1 + y)2 = 170 ②.
解方程①，得 x1 = 0.1 = 10%，x2 = - 2.1 (不符合题意，舍去).
解方程②，得 y1 ≈ 0.08 = 8%，y2 ≈ - 2.08 (不符合题意，舍去).
因为10% ＞ 8%，所以小明同学身高的年平均增长率更大.
探究 2 销售利润问题
分析：设商品涨价 x 元，
超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？
售价-进价=利润
单个商品涨价/元 单价/元 单个商品利润/元 减少销量/个 销量/个
x
50+x
(50+x)－40
10x
500－10x
根据“单件商品的利润×销量=8000”，可列方程为_________________________.
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000
解：设商品涨价x元，则销售单价为(50+x)元，
则 (500－10x)· [(50+x)－40] = 8000，
整理得 x2－40x+300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30.
当x=10时，50+x =60，500－10 x = 400；
当x=30时，50+x =80，500－10 x = 200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应
为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.
销售利润问题中常见的基本公式：
(1)单件利润=单件售价-单件进价
(2)总利润=单件利润×销量
(3)总利润=销售总额-总成本
(4)售价=原价×折扣
(5)售价=成本×(1+利润率)
归纳总结
1.(2024云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A. 80(1﹣x2)＝60 B. 80(1﹣x)2＝60
C. 80(1﹣x)＝60 D. 80(1﹣2x)＝60
B
2.(2024重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是________.
10%
3.为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？
解：设每件玩具应降价x元，则每件盈利(20﹣x)元，平均每天可销售(10+5x)件，
依题意得：(20﹣x)(10+5x)＝425，
整理得：x2﹣18x+45＝0，
解得：x1＝3，x2＝15(不符合题意，舍去)，
答：每件玩具应降价3元．
4.某市按照《关于切实做好2025年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目，某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售300条，6月份销售432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
解：设该跳绳销售量的月增长率为x，
由题意得：300(1+x)2＝432，
整理得，300x2+600x﹣132＝0，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不符合题意，舍去)，
答：该跳绳销售量的月增长率为20%；
(2)若此种跳绳的进价为30元/条．经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的实际售价应定为多少元/条？
解：设该跳绳的售价应定为a元/条，则每条跳绳的销售利润为(a﹣30)元，
月销售量为600﹣(a﹣40)×10＝(1000﹣10a) 条，
由题意得：(a﹣30)(1 000﹣10a)＝10000，
整理得：a2﹣130a+4000＝0，
解得：a1＝50，a2＝80，
(2)若此种跳绳的进价为30元/条．经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的实际售价应定为多少元/条？
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴a＝50，
所以该跳绳的售价应定为50元/条，
答：该跳绳的售价应定为50元/条．
常用公式：a(1+x)2=b ； a(1-x)2=b
a指的是最初的量，b指的是最终的量.
销售利润问题
变化率问题和
销售利润问题
变化率问题
常用公式：
(1)单件利润 = 单件售价 - 单件进价
(2)总利润 = 单件利润 × 销量
(3)总利润 = 销售总额-总成本
(4)售价 = 原价×折扣
(5)售价 = 成本×(1+利润率)
Thanks!
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