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人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 面积问题
1.能通过构建一元二次方程模型解决几何图形面积问题.
2.能正确分析问题中的数量关系，找出可以作为列方程依据的主要相等关系.
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观看上边视频，我们了解到了为什么要给字画进行装裱，那么如何设计装裱的宽度呢？这节课让我们一起来学习如何利用一元二次方程解决生活中的面积问题.
探究 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
27cm
21cm
封面长 ：封面宽=9 ：7
中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a
中央图形长×中央图形宽=
分析：封面的长宽之比是 27 : 21＝9 : 7，中央的矩形的长宽之比也应是9 : 7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是　
解：设上、下边衬的宽均为 9x cm，左、右边衬的宽均为 7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x) cm，宽为(21-14x) cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三. 于是可列出方程
整理，得 16x2 - 48x + 9 =0.
解方程，得 ，x1 ≈ 2.8(不符合题意，舍去)，x2 ≈ 0.2 .
所以上、下边衬的宽均为_______cm ，左、右边衬的宽均为_______cm.
1.8
1.4
思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
27cm
21cm
解： 设正中央的矩形两边长分别为 9x cm，7x cm.
依题意得
解得 ，
思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
27cm
21cm
故上、下边衬的宽度为:
左、右边衬的宽度为：
设未知数的方法
直接设元法：题中问什么就设什么，即直接设待求量为未知数，如探究中的第一种设法.
间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量用含未知数的代数式表示，如探究中的第二种设法.
方法总结
拓展 动点问题 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点 A 开始沿边AB向终点 B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒．
(1) 用含 t 的式子表示△ PBQ 的面积；
思路点拨：当运动时间为 t 秒时，根据点 P ， Q 的运动方向及运动速度，可用含 t 的代数式表示出各线段的长度，从而表示△ PBQ 的面积.
(1) 用含 t 的式子表示△ PBQ 的面积；
解：由题意可得 BQ ＝ 2 t ， PB ＝AB - AP ＝ 5 - t ，0 ≤ t ≤ 3，
所以S△ PBQ＝ ×2 t × (5 - t )= - t 2＋ 5 t
(2) 是否存在 t 的值，使得△PBQ的面积等于4 cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
解：由(1) 可得S△ PBQ＝ - t 2＋ 5 t = 4
整理得：t 2 - 5 t + 4 =0.
解得t1 = 1 ，t2 = 4(不符合题意，舍去)
答：当t = 1时，△PBQ的面积等于4 cm2．
方法总结
解决几何图形中动点问题的方法：
(1)审清题意：明确动点的起点、终点、路线和速度等；
(2)表示：用含有时间 t 的式子正确表示有关线段的长度；
(3)列出方程：根据题目中给出的等量关系(多为图形的面积)列出方程；
(4)求解：解出方程并进行验证，舍去不合题意的根.
1. (2024西宁)如图，小区物业规划在一个长60 m，宽22 m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是( )
A. x 2－ 41 x＋180 = 0 B. x 2－ 41 x＋225 = 0
C. x 2－ 41 x＋30 = 0 D. x 2－ 41 x－270 = 0
A
2.(2024青岛) 如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______ m.
2　
分析：设小路宽为x m，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：(16﹣2x)(12﹣2x)= ×12×16，解方程即可得到小路的宽．
3. 在宽为 28 m，长为 30 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
点拨：利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，列方程就容易些.
解得 x1=3，x2=55，
当 x = 55 时，30 – x = -25，不合题意，舍去.
∴取 x = 3.
答：道路的宽为3米.
解：设道路的宽为 x 米.
整理，得 x2 – 58x +165 = 0，
(30 – x)(28 – x)=675，
可列方程为
4.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，
则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m，
根据题意，得 x(72－2x)＝640，
化简，得 x2－36x＋320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈.
4.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(2)不能. 理由如下：
由题意，得 x(72－2x)＝650.
化简，得 x2－36x＋325＝0.
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4 < 0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
直接设元法：题中问什么就设什么，即直接设待求量为未知数.
间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量用含未知数的代数式表示.
面积问题
设未知数
的方法
(1)审清题意：明确动点的起点、终点、路线和速度等；
(2)表示：用含有时间 t 的式子正确表示有关线段的长度；
(3)列出方程：根据题目中给出的等量关系(多为图形的面积)列出方程；
(4)求解：解出方程并进行验证，舍去不合题意的根.
动点问题
Thanks!
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