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人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
微专题1 一元二次方程
根的判别式及根与系数的关系
章末复习
原题　(教材P17第13题)无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个
不等的实数根吗？给出答案并说明理由.
一阶 教材原题改编练
解：无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根，理
由如下：
∵(x－3)(x－2)－p2＝0，∴x2－5x＋6－p2＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4(6－p2)＝25－24＋4p2＝ 1＋4p2.
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1＋4p2>0，
∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．
变式1　修改参数，已知根的情况求取值范围
已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p有两个不等的实数根，求p的取
值范围.
解：整理方程，得x2－5x＋6－p＝0，
∵方程有两个不等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4(6－p)>0，
化简，得1＋4p>0，
解得p>－ .
变式2　改为结合根与系数关系，求参数的值
已知关于x的一元二次方程x2－x＋6＝px有两个不等的实数根x1，x2，且｜
x1－x2｜＝5，求p的值.
解：整理方程，得x2－(1＋p)x＋6＝0，
∴x1＋x2＝－＝1＋p，x1x2＝＝6，
∵(x1－x2)2＝＋2x1x2－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝(1＋p)2－4×6＝25，
整理，得p2＋2p－48＝0，
解得p1＝－8，p2＝6.
变式3　改为结合矩形，求参数的值
已知矩形的长和宽恰好是关于x的一元二次方程x2－(4－p)x＋p2＝0的两个
实数根，若该矩形的对角线长为，求p的值.
解：设方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－＝4－p，x1x2＝＝p2，
由题意，得＝()2＝31，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝(4－p)2－2p2＝31，
整理，得－p2－8p－15＝0，
解得p1＝－3，p2＝－5，
当p1＝－3时，方程可化为x2－7x＋9＝0，
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×9＝13>0，
此时方程有两个不相等的实数根，符合题意．
当p2＝－5时，方程可化为x2－9x＋25＝0，
Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×1×25＝－19<0，
此时方程没有实数根，不符合题意．
综上所述，p的值为－3.
二阶　综合训练
1. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0.
(1)利用根的判别式判断方程根的情况；
解：∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(m－2)＝12－4m，
∴当12－4m<0，即m>3时，方程无实数根，
当12－4m＝0，即m＝3时，方程有两个相等的实数根，
当12－4m>0，即m<3时，方程有两个不相等的实数根；
(2)若该一元二次方程的两个不相等的实数根分别为x1，x2，当x1＋x2＝3－
时，求m的值.
解：∵x1＋x2＝2，x1x2＝m－2，
∴2＝3－，可化为(m－2)2＝1，
解得m＝1或m＝3(舍去)．
∴m的值为1.
思维导图
请将下面的思维导图补充完整：
①
①配方法
公式法 求根公式：x=
因式分解法
②
③
②△>0，方程有两个不相等的实数根；
△=0，方程有两个相等的实数根；
△<0，方程没有实数根
③x1+x2=-，x1·x2=
典例串知识
一、一元二次方程
例　已知(m－2)x2＋2mx＋m－10＝0是关于x的一元二次方程.
(1)若x＝1是该一元二次方程的一个根，则m的值为 ，该一元二次方
程的另一个根为 ；
(2)若m＝4，则该一元二次方程的根为 ；
3
x＝－7
x1＝－2＋，x2＝－2－
(3)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
；
(4)若该一元二次方程的两个实数根为x1，x2，则代数式4x1－2x1x2＋4x2的
结果为 ；(用含m的代数式表示)
m>且
m≠2
－10
(5)若该一元二次方程的两个实数根为x1，x2，且＋＝3，则m的值
为 .
6
练习1　已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两根x1，x2满足x1＋5x2
＝11，则m的值是(　D　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
D
练习2　若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0没有实数根，则｜m＋3｜－
的化简结果为 .
－4
练习3　若一元二次方程x2－10x－1＝0的两根分别为m，n，则m3－m＋
10n2的值为 .
1 020
Thanks!
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