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2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高二（下）期末
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知由样本数据( , )( = 1,2,3, , 10)组成的一个样本，得到经验回归方程为 = 2 + 0.6，且 = 3，
去除两个样本点( 4, 6)和(4,8)后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为( )

A. = 2 + 0.5 B. = 2 + 0.6 C. = 2 + 0.7 D. = 2 + 0.8
2.曲线 ：4 2 + 9 2 36 = 0 的离心率为( )
A. 53 B.
3
3 C.
2 5
3 D. 2
3.记等差数列{ }的前 项和为 ，若 10 = 100， 10 = 19，则 20 =( )
A. 320 B. 400 C. 480 D. 560
4.某高中举行益智闯关团队赛，共 4 个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的 5 名选手组团参赛，若甲负责第一
关，最后一关由 2 名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有( )
A. 8 种 B. 10 种 C. 12 种 D. 14 种
5.已知圆 1：( 1)2 + 2 = 1，圆 2：( 3)2 + 2 = 9，则两个圆的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
6.已知函数 ( ) = + 2 2 在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. > 1 B. ≥ 12 2 C. > 1 D. ≥ 1
7.若函数 ( ) = 图象在点( 0, ( 0))处的切线方程为 = + ，则 的最小值为( )
A. 1 + 1 B. 1
1 1
C. 1 D. 1 +
1

8.宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之
气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，
离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极
八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉
祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“ ”
为阳爻，“ ”为阴爻，现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦
中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为( )
A. 4 3 5 27 B. 7 C. 6 D. 3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1+ 2+ 3 1+ + + .已知甲组样本数据： 1， 2， 3， 3 ，乙组样本数据：
2 3 4
1， 2， 3， 4， 4 ，其中 1 < 2 < 3，
且甲、乙两组样本数据的平均数相同，则( )
A.两组样本数据的样本中位数相同 B.两组样本数据的样本极差相同
C.两组样本数据的样本第 30 百分位数相同 D.两组样本数据的样本方差相同
10.若函数 ( ) = 1 33 9 + 2，下列说法正确的是( )
A. ( )的单调递减区间是( 3,3)
B. = 3 是 ( )的极小值点
C. ( )没有最大值也没有最小值
D.若函数 ( ) = ( ) 在区间[0,6]上有两个零点，则 的取值范围为( 16,2]
11 { } 1 , 1 , 3 1 3.已知数列 ： 2 4 4 , 8 , 8 ,
5 7
8 , 8，…，其中第 1
1 1
项为2，接下来的 2 项为4 ,
3 1 3 5 7
4，接下来的 4 项为8 , 8 , 8 , 8，
依此类推，设 为{ }的前 项和，则( )
A. 15 =
15
16
B. 15 7 = 4
C. 31有且仅有一个正整数 ，使得 + +1 = 32
D. 存在无数个正整数 ，使得 = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知{ 1 1 }是正项等比数列，若 = 23，则 + 的最小值为______．
13.某农场种植的水果由甲、乙两块果园产出，甲果园产量占总产量的 65%，乙果园产量占总产量的 35%.
甲果园水果的优质率为 80%，乙果园水果的优质率为 60%.从农场所有水果中随机选一个，估计选到优质水
果的概率为______．
14 ≥ 2 2.若 ，不等式( 2 )( ) ≤ 0 恒成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 1)10 = + + 2 3 100 1 2 + 3 + + 10 ，
(1)求 1 + 2 + + 10；
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(2)求| 0| + | 1| + | 2| + + | 10|；
(3)求 1 + 2 2 + 3 3 + + 10 10．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 6， = + 2 2 2．
(1)求{ }的通项公式：
(2) 1若 = ， = 1 2 + 2 3 + + +1，求 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + ) ，其中 ∈ ．
(1)当 = 1 时，求出函数 ( )的极值并判断方程 ( ) = ( ∈ )的解的个数；
(2)当 > 1 ( ) ( ) + 时，证明：对于任意的实数 ， ( ≠ )，都有 > 2 ．
18.(本小题 17 分)
在圆 2 + 2 = 4 3上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 .点 在线段 上，且满足 = 2 .
当点 在圆上运动时，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的标准方程．
(2)过点 (1,0)的直线 交曲线 于 ， 两点，过点 与 垂直的直线交曲线 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上
方， ， 分别为 ， 的中点．
(ⅰ)证明：直线 过定点；
(ⅱ)求△ 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中
国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛.该挑战赛共分 ( ∈ , ≥ 2)关，规则如下：两
人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘
汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者 关都挑战成
功，挑战比赛结束.已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为 (0 < < 1)，乙每
一关挑战成功的概率均为 (0 < < 1)，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影
响．
(1) 1 1已知甲先上场， = 3， = 4， = 2，
①求挑战没有一关成功的概率；
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②设 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求 ( )；
(2)如果 关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率内是否相同，
并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.0.73
14.{ 2 } ∪ [ 24 2 , + ∞)
15.(1)令 = 0，得 0 = 1，
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + 3 + + 10 = (2 1)10 = 1，
所以 1 + 2 + 3 + 10 = 1 1 = 0．
(2)根据该二项式的展开式可知，| 0| + | 1| + | 2| + | 10| = 0 1 + 2 + 10，
令 = 1，得 10 100 1 + 2 3 + + 0 = ( 3) = 3 ，
∴ | 0| + | 101| + | 2| + + | 10| = 3 ．
(3)对(1 2 )10 = 0 + 1 + 22 + 33 + + 1010 两边同时求导，
可得 20(1 2 )9 = 1 + 2 2 + 3 23 + + 10 910 ，
令 = 1，可得 1 + 2 2 + 3 3 + + 100 100 = 20．
16.(1)由 1 = 6， = + 2 2 2，
可得 +1 = +1 = 2( 1)2 2，
相减可得 +1 = +1 + 4 + 2，则 = 4 + 2；
(2) 1 1由 = 4 +2，可得 +1 = 4 +6，
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= 1 1 1 1则 +1 (4 +2)(4 +6) = 8 ( 2 +1 2 +3 )，
所以 = 1 2 + 2 3 + . . . +
1 1 1 1 1 1 1
+1 + 8 ( 3 5+ 5 7 + . . . + 2 +1 2 +3 )
= 1 ( 1 1 8 3 2 +3 ) = 12(2 +3)．
17.(1)当 = 1 时， ( ) = ( + 1) ，则 ′( ) = ( + 2) ，
当 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
( ) 1所以函数 有极小值 ( 2) = 2，无极大值．
方程 ( ) = 解的个数，转化为 = 与 = ( )交点的个数，
由于 ( )在( ∞, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( 2) =
1
2，
令 ( ) = 0，解得 = 1.且 < 1 时， ( ) < 0； > 1 时， ( ) > 0，
所以当 < 1 2时，方程有 0 个解；
当 = 1 2或 ≥ 0 时，方程有 1 个解；
1
当 2 < < 0 时，方程有 2 个解．
(2) ( ) ( ) + 证明：要证 1 > 2 ，
不妨设 > ，即证 > ( + 2 + 1)(
)，
两边同时除以 并化简，即证( 2) + + 2 > 0，
令 = ，则 > 0，设 ( ) = ( 2) + + 2， > 0，
′( ) = ( 1) + 1，令 ( ) = ( 1) + 1，则 ′( ) = > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
得 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
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故 F′( ) > ′(0) = 0，故 F( )在(0, + ∞)上单调递增．
所以 ( ) > (0) = 0，从而命题得证．
18.(1)设点 ( , )是所求曲线 上的一点，且 ( 1, 1)，
因为 ⊥ 轴于 ，
所以 ( 1, 0)，
因为 = 3 ，2
1 =
所以 2 ，1 = 3
因为点 是圆 2 + 2 = 4 上任意一点，
所以 2 + ( 23 )
2 = 4，
2
整理得 +
2
，
4 3 = 1
2 2
则曲线 的标准方程为
4 +

3 = 1；
(2)( )证明：当直线 的斜率存在且不为 0 时，
设直线 方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4 2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0，
4 + 3 = 1
8 2
由韦达定理得 1 + 2 = ，3+4 2
2
+ = ( + 2) = ( 8 2) = 6 所以 1 2 1 2 3+4 2 ，3+4 2
2
( 4 , 3 可得 3+4 2 3+4 2 )，
因为直线 与直线 垂直，
1
所以直线 的方程为 = ( 1)，
设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
= 1 ( 1)
联立 2 2 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4) 8 + 4 12
2 = 0，
4 + 3 = 1
8
由韦达定理得 3 + 4 = 3 2+4，
所以 3 + 4 =
1 6
( 3 + 4 2) = 3 2+4，
4 3
可得 ( 3 2+4 , 3 2+4 )，
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3 + 3
= 3 2+4 3+4 2则 4 4 2 ，
3 2
+
+4 3+4 2
3 + 3 3
所以直线 的方程为 3 2+4 =
3 2+4 3+4 2
2 (
4
4 4 3 2+4 )，
3 2

+4 3+4 2
即 3 7 43 2+4 = 4( 2 1) ( 3 2+4 )，
令 = 0，
4
解得 = 7，
所以直线 过定点 ( 47 , 0)；
当直线 的斜率不存在时，直线 方程为 = 1，
(1, 3此时 2 ), (1,
3
2 )，
所以 (1,0)，
直线 的方程为 = 0，
可得 ( 2,0)， (2,0)，
则 (0,0)，
4
所以直线 过定点 ( 7 , 0)，
4
综上所述，直线 过定点 ( 7 , 0)；
( )由( )知，直线 过定点( 47 , 0)
3 3
，且 = 3+4 2 , = 3 2+4，
可得| | = |1 47 | =
3
7，
所以 △ =
1 | || | = 3 | 3 3 2 14 3+4 2 + 3 2+4 |
1
= 9 | |(1+
2) 9 | |+= | |2 (3+4 2)(4+3 2) 2 ，12( 2+ 12)+25
1
令 = | | + | |， ≥ 2，
| |+ 1| |
此时 = = 1 ，
12( 2+ 12)+25 12
2+1 12 +1

1
令 = 12 + ，
1
易知函数 = 12 + 在[2, + ∞)上单调递增函数，
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所以当 = 2 时， =
49
2．
即 = 1 9 2 9时，△ 面积取得最大值，最大值为2 × 49 = 49．
19.解：(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为 ，
则 = (1 )(1 ) = 2 × 33 4 =
1
2；
②依题可知， 的可能取值为 0，1，2，
则由①知 ( = 0) = 12，
( = 1) = (1 )(1 ) + (1 ) (1 ) = 1 × 2 3 2 1 3 1 1 73 3 × 4 + 3 × 4 × 4 = 6 + 8 = 24，
( = 2) = 1 ( = 0) ( = 1) = 1 12
7 5
24 = 24，
∴ 的分布列为：
0 1 2
1 7 52 24 24
∴ ( ) = 0 × 1+ 1 × 7 + 2 × 5 = 172 24 24 24；
(2)设甲先出场成功概率为 1，乙先出场成功概率为 2，
则 = + 11 (1 ) + 2(1 ) 2 + + (1 ) 1 + (1 )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( 1 + 2 2 + + 1 + )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( + 1 2 + + 2 1 + )，
= 12 + (1 ) + 2(1 ) 2 + + (1 ) 1 + (1 )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( 1 + 2 2 + + 1 + )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( + 1 2 + + 2 1 + )，
∵ + 1 + 2 2 + + 1 + = + 1 + 2 2 + + 1 + ，
+ 1 2 + + 2 1 + = + 1 2 + + 2 1 + ，
∴ 1 = 2，
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
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