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北师大版八年级数学上册 第一《勾股定理》、第二章《实数》检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
下列各数：，，，，，是无理数的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
已知，，求的值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定
△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．∠A＝∠B＋∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a＝5，b＝12，c＝13
4． 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．
为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，
则牌子上“？”处是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米
（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，
甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲：．
乙：因为，所以．
对于这两种解法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
如图，有一张直角三角形纸片，，现将折叠，
使边与重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9． 在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．1
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，
用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，
中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：
①， ②， ③， ④．
其中说法正确的是（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11． 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，
这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”）
《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，
一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，
过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？
请说明理由.
计算： ．
如图，过A作且，根据勾股定理，得，
过作且得；…以此类推，得 ．
如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，
这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，
若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，
连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解下列方程：
(1)
(2)
18. 如图所示，四边形，，，，，，
求四边形的面积．

19．计算：
(1)；
(2)．
已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求：
(1)、、的值；
(2)的立方根．
21．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；；

请用含有为正整数的等式______；
推算出______．
求出的值．
22．实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点）②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．
初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且．
实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．
任务 （1）求绳子的总长度；
（2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，
例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
比较大小：_____（填“”，“”或“”）；
计算：；
若，求的值．
综合与实践
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，
一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，
从而得到等式，化简便得结论．
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，
其三边长分别为a，b，c，，显然．
请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，
再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】
请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，
可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
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北师大版八年级数学上册 第一《勾股定理》、第二章《实数》检测试卷解析
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数：，，，，，是无理数的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】此题主要考查了实数的分类．由题意根据无理数、有理数的定义即可判定求解．
【详解】解：，，，，，中，无理数有，，共2个，
故选：A．
2．已知，，求的值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，熟记平方根和立方根的定义是解题关键．先根据平方根和立方根的定义，求出，，再分别代入计算求绝对值即可．
【详解】解：，，
，，
当，时，；
当，时，；
综上可知，的值为1或5，
故选：C．
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．∠A＝∠B＋∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a＝5，b＝12，c＝13
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．
为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，
则牌子上“？”处是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：米，米，
（米），
（米），
故选：D．
如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米
（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
作，根据勾股定理求得的长，即可解答；
【详解】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，
甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲：．
乙：因为，所以．
对于这两种解法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】C
【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断．
【详解】甲：，
∴甲正确；
乙：，
∵，
∴．
∴乙正确；
综上所述，甲、乙均对．
故选：C．
如图，有一张直角三角形纸片，，现将折叠，
使边与重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键．
先根据勾股定理求出的长度，再由折叠的性质可得，设，然后在中利用勾股定理即可求出x的值．
【详解】解：∵，
，
由折叠可知，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
故选：B．
9．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可．
【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，
8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，
由于是无理数，
所以输出的值是．
故选：A．
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，
用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，
中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：
①， ②， ③， ④．
其中说法正确的是（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形应用；
由勾股定理可判定①；由完全平方公式变形求得，由三角形面积即可判定②；由及，开方即可判定③；由代入中计算即可判定④．
【详解】解：由勾股定理得：，
另一方面，大正方形面积为64，即，
∴，故①正确；
小正方形面积为16，即，展开得：，
∴，
∴，故②正确；
∵，且，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
故正确的有①②③；
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，首先根据二次根式有意义的条件，可得；然后根据一元一次不等式的解法，求出的取值范围是多少即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
12.把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，
这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，不等式的性质等知识，根据夹逼法得出，，根据不等式的性质得出，进而得出，然后根据不等式的性质即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴，，
即，，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为∶．
《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，
一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，
过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？
请说明理由.
【答案】小汽车超速了,理由见解析
【分析】先根据勾股定理得到BC=120米，再求出其速度即可得出答案.
【详解】由题意可知：米，米.
在中，是斜边，由勾股定理可得：
，即，
解得：米千米，
∵6秒小时，
∴速度为：（千米/时）.
∵72千米/时千米/时，
∴该小汽车超速了.
14．计算： ．
【答案】45
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：45．
15．如图，过A作且，根据勾股定理，得，
过作且得；…以此类推，得 ．
【答案】
【分析】本题为考查勾股定理和图形类的规律探索，熟练掌握勾股定理以及找到图形之间的规律是解题关键；利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．
【详解】解：由勾股定理，得，，
，
，
，
，
…，
以此类推，得，
故答案为：．
如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，
这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，
若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，
连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：21
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了立方根、平方根．
（1）直接根据平方根的定义即可得出结论；
（2）先移项，再由立方根的定义即可得出结论．
【详解】（1）解：，
开方得或，
解得或；
（2）解：，
整理得，
开方得，
解得．
如图所示，四边形，，，，，，
求四边形的面积．

【答案】
【分析】连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，四边形面积等于三角形面积+三角形面积，求出即可；
【详解】连接，

在中，，
在中，，，
而，
即，
∴，
∴，
∴
．
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求：
(1)、、的值；
(2)的立方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键．
（1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可；
（2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是，即，
，，；
（2）解：，，，
，，
的立方根是．
21．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；；

请用含有为正整数的等式______；
推算出______．
求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）
，
所以，
故答案为：；
（3）
．
22．实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点）②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．
初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且．
实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．
任务 （1）求绳子的总长度；
（2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可；
（2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可．
【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
绳子长度（）．
答：绳子总长度为18分米．
（2）如图2，由题意可知，，
若物体C升高，则此时（），
在中，由勾股定理得，（），
（）．
答：滑块B向左滑动的距离为．
将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，
例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
比较大小：_____（填“”，“”或“”）；
计算：；
若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式；
（3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
∴
∴
综合与实践
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，
一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，
从而得到等式，化简便得结论．
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，
其三边长分别为a，b，c，，显然．
请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，
再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】
请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，
可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）边上的高是；（3）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】证明：（1）∵，，，
，
∴，
∴，
∴；
（2），
，
，
，
即边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得
，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．
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