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第37届亚太地区数学奥林匹克
XXXVII Asian Pacific Mathematics Olympiad
题目1.设锐角三角形ABC内接于圆T.设A1是A在BC上的正交
投影，从而AA,是一条高线.设B1和C1分别是A1在AB和AC上
的正交投影.点P满足AB,PC1是和三角形ABC面积相等的凸四边
形.点P是否有可能落在圆下的内部（不含边界）？证明你的论断
题目2.设和B是正实数.埃默拉尔德在坐标平面上旅行，她从坐
标原点(0,0)出发.每分钟她都向上或向右走一个单位长度，但不会
离开区域x-以<2025.当她抵达一个（整）点(x,y)时，她在此处写
上整数Lx+B,结果埃默拉尔德写下了每个非负整数恰一次.试求
所有的数对(，B),使得这样的旅行是可以实现的.
题目3.非常数整系数多项式P(x)满足P(O)≠0.设无穷整数列
41,2,3,..满足对所有的不同正整数i,j,都有P(i-)整除4；-aj.
证明：41,42,3，.只能是常数列，即对所有正整数n,4,都等于某个
常数c.
题目4.设整数n≥3.在圆周上有n个方格，每个方格中都写着数0
或1.在这些方格中的某个上有一只公鸡，它反复进行如下的操作：
·如果公鸡所在的方格写有数0，则它将这里的数改为1，并沿逆
时针移动到下一个方格，
·如果公鸡所在的方格写有数1，则它将这里的数改为0，并沿逆
时针移动到下一个方格的下一个方格.
试证明经过充分多次操作后，以下的论断成立：
若公鸡在某个方格C处，则公鸡沿着圆周恰好转了三圈
再到达C处时，每个方格中所写的数都与公鸡转三圈之
前所写的数相同.
题目5.考虑一个无穷正整数列41,2，.，满足对所有满足m≤n的
正整数m,n,
100!(am+am+1+…+an)是an-m+1an+m
的一个倍数
证明：这个数列要么是有界的，要么是线性的，
观察.一个正整数列是有界的，是指存在一个常数N使得对所有
的n∈Zo,都有an都有an=n·a1.

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